TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 410

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$xy'-y=x^{3}+3x^{2}-2x\,$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y'+a(x)y=s(x)\,$ bringen:

$y'-{\frac {y}{x}}=x^{2}+3x-2\,$

Lösung der homogenen Gleichung

$y'-{\frac {y}{x}}=0\,$

$y'={\frac {y}{x}}\,$

$\int {\frac {dy}{y}}=\int {\frac {dx}{x}}\,$

$y_{h}(x)=Cx\,$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)=C(x)x\,$

Einsetzen:

$C'(x)x+C(x)-{\frac {C(x)x}{x}}=x^{2}+3x-2\,$

$C'(x)x=x^{2}+3x-2\,$

$C'(x)=x+3-{\frac {2}{x}}\,$

$C(x)=\int (x+3-{\frac {2}{x}})dx={\frac {x^{2}}{2}}+3x-2ln|x|\,$

$y_{p}(x)=C(x)x={\frac {x^{3}}{2}}+3x^{2}-2xln|x|\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=Cx+{\frac {x^{3}}{2}}+3x^{2}-2xln|x|\,$