TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 397

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Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

xy' = y+x^2cos(x)\,

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

Zuerst auf die Form y' + a(x)y=s(x) \, bringen:

xy'-y=x^2cos(x) \,

y'-\frac{y}x=xcos(x) \,

Lösung der homogenen Gleichung[Bearbeiten]

\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=0 \,

\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} \,

\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x} \,

y_h(x) = C x \,

Lösung der inhomogenen Gleichung[Bearbeiten]

y_p(x) = C(x)x \,

Einsetzen:

C'(x)x+C(x)-\frac{C(x)x}x = x cos(x)\,

C'(x)x = x cos(x)\,

C'(x) = cos(x)\,

C(x) =\int cos(x)dx = sin(x)\,

y_p(x) = x sin(x) \,

Lösung der Differentialgleichung[Bearbeiten]

y = y_h(x) + y_p(x) = Cx + xsin(x)  \,