TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 399

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Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen

y'' + 7y' + 6y = \cosh(x)

Hilfreiches[Bearbeiten]

Cosh[Bearbeiten, WP]

\cosh(x)=\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})

Lösungsvorschlag von G underscore[Bearbeiten]

--G underscore 19:02, 29. Jun. 2019 (CEST)

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Lösung der homogenen Gleichung[Bearbeiten]

\lambda^2 + 7\lambda + 6 = 0 \,

\lambda_{1,2} = -\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}-6} = -\frac{7}{2} \pm \frac{5}{2} \,

\lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = -6

y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-6x} \,

Lösung der inhomogenen Gleichung[Bearbeiten]

Da  \cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) gilt, können wir mit der Versuchslösung für die Exponentialfunktion arbeiten.

y_p(x) = Ae^x + Be^{-x} x \, Resonanzfall beachten!

y_p(x)' = Ae^x + B(-e^{-x}x + e^{-x})

y_p(x)'' = Ae^x + B(e^{-x}x - 2e^{-x})


Einsetzen in die Differenzengleichung:

 Ae^x + Be^{-x} x + 7(Ae^x + B(-e^{-x}x + e^{-x})) + 6(Ae^x + B(e^{-x}x - 2e^{-x})) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})

 14Ae^x + 5Be^{-x} = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})

 28Ae^x + 10Be^{-x} = e^x+e^{-x}


Aus einem Koeffizientenvergleich folgt:

A = \frac{1}{28},\quad B = \frac{1}{10}

Lösung der Differentialgleichung[Bearbeiten]

y = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-6x} + \frac{e^x}{28} + \frac{xe^{-x}}{10} \,