TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 4

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Man finde alle Häufungspunkte der Folge {\textstyle a_n = (-1)^n + \cos \frac{n\pi}{2}\ (n \ge 0)}.

Vorschlag von Martin[Bearbeiten]

a_0 = 2

a_1 = -1

a_2 = 0

a_3 = -1

a_4 = 2

a_5 = a_1...

Die Häufungspunkte sind also 2, -1 und 0.

(Das ist die korrekte Lösung! Siehe letzen Kommentar von unterer "Lösung")

-- Martin

Es kann - ähnlich wie im Kommentar unten angemerkt - sogar bewiesen werden, dass dies alle sind und auch, dass nie andere Folgeglieder auftreten. Dazu werden Teilfolgen gebildet. Es könnte z.B. jedes vierte Folgeglied betrachtet werden. Das wurde vom Tutor vorgerechnet:

 
a_{4n}=(-1)^{4n}+\cos\left(\frac{4n\pi}{2}\right)=1+\underbrace{\cos(n\cdot 2\pi)}_{\mbox{immer 1}}=2

Daher ist 2 ein Häufungspunkt. Analog sollte es für  a_{4n+1} usw. funktionieren.

Vorschlag von stefanjp[Bearbeiten]

Man zerlege die Folge a_n in b_n + c_n

b_n = (-1)^n = 1, -1, 1, ...)

c_n = cos (\frac{n\pi}{2}) = (1, 0, 1, 0, ...)

Wie man auf b_n = (-1)^n = (1, -1, 1, ...) kommt, dürfte klar sein. (gerader Exponent => 1, ungerader Exponent => -1)

Um auf c_n = cos (\frac{n\pi}{2}) = (1, 0, 1, 0, ...) zu kommen, betrachte man die Werte, welche die Folge im Einheitskreis annimmt. Eine Erhöhung von n um 1, entspricht einer 1/4 Drehung im Einheitskreis. c_0 = 1 und bei jeder weiteren Drehung von \frac{\pi}{2} = 90^\circ ist der Kosinus abwechselnd 0 und 1.

Addiert man nun die 2 Teilfolgen, ergibt das: a_n = b_n + c_n = (-1)^n + cos (\frac{n\pi}{2}) = (2, -1, 2, -1, ...)

-- stefanjp

Kommentar von Kaufi: c_n = cos (\frac{n\pi}{2}) = (1, 0, 1, 0, ...) ich denke das ist so nicht richtig! Wenn man für n = 2 einsetzt, also den cos(2pi/2) berechnet kommt als Ergebnis -1 und nicht +1 heraus! Der cos wechselt zwischen den Werten 1,0,-1 und nicht nur zwischen 1,0. Allerdings ändert diese Tatsache nichts an der Lösung, da in der Folge nie der Fall -1 + -1 = -2 auftritt.

Kommentar: Wie von Kaufi schon angesprochen ist stefanjp's Lösung FALSCH. Der cos(0) = 1, cos(pi) = -1, cos(2pi) = 1, cos(3pi) = -1 usw. Bei allen ungeraden Vielfachen von pi/2 (also p/2, 3pi/2, 5pi/2 etc.) ist der cos = 0. Somit kommt man für die Folge auf: 2, -1, 0, -1, ... (was sich ständig wiederholt) Somit liegen die Häufungspunkte bei 2, -1, 0