TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 44

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n\in \mathbb{N}$ definiert.)

$a_n=\frac{q^n}{n}(q>1)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Mittels des Wurzelkriteriums $\sqrt[n]{|\frac{q^n}{n}|}<q<1$ kann die Konvergenz/Divergenz analysiert werden.

$\sqrt[n]{|\frac{q^n}{n}|}<1$

$\sqrt[n]{\frac{q^n}{n}}<1$

$\frac{\sqrt[n]{q^n}}{\sqrt[n]{n}}<1$

$\frac{q}{1}<1$

Die Folge konvergiert also nur für q < 1, lt. Angabe ist q allerdings > 1, deshalb divergiert die Folge.