TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 44

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\frac {q^{n}}{n}}\quad (q>1)$

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Lösungsvorschlag

Mittels des Wurzelkriteriums ${\textstyle {\sqrt[{n}]{|{\frac {q^{n}}{n}}|}}<q<1}$ kann die Konvergenz/Divergenz analysiert werden.

${\sqrt[{n}]{|{\frac {q^{n}}{n}}|}}<1$

${\sqrt[{n}]{\frac {q^{n}}{n}}}<1$

${\frac {\sqrt[{n}]{q^{n}}}{\sqrt[{n}]{n}}}<1$

${\frac {q}{1}}<1$

Die Folge konvergiert also nur für q < 1, lt. Angabe ist q allerdings > 1, deshalb divergiert die Folge.