TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 45

Man untersuche die Folge $\left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$a_{n}={\sqrt[{n^{2}}]{n^{5}+1}}$

Hinweis: Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenzwert $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}a_{n}=&{\sqrt[{n^{2}}]{n^{5}+1}}\\=&{\sqrt[{n^{2}}]{n^{5}\cdot \left(1+{\frac {1}{n^{5}}}\right)}}\\=&{\underset {\downarrow }{\sqrt[{n^{2}}]{n^{5}}}}\cdot {\sqrt[{n^{2}}]{1+{\frac {1}{n^{5}}}}}\\&{\begin{array}{|c|}\hline {\sqrt[{n^{2}}]{n^{5}}}=n^{\frac {5}{n^{2}}}=\left(n^{\frac {1}{n}}\right)^{\frac {5}{n}}=\left({\sqrt[{n}]{n}}\right)^{\frac {5}{n}}\\\hline \end{array}}\\=&{\overset {\downarrow }{\left({\sqrt[{n}]{n}}\right)^{\frac {5}{n}}}}\cdot {\sqrt[{n^{2}}]{1+{\frac {1}{n^{5}}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }\left(\left({\sqrt[{n}]{n}}\right)^{\frac {5}{n}}\cdot {\sqrt[{n^{2}}]{1+{\frac {1}{n^{5}}}}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{n}}\right)^{\frac {5}{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n^{2}}]{1+{\frac {1}{n^{5}}}}}\\&=\lim _{n\to \infty }1^{\frac {5}{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n^{2}}]{1}}\\&=1\cdot 1\\&=1\end{aligned}}$