TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 45

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Man untersuche die Folge \left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a_{n}=\sqrt[n^2]{n^5+1}

Hinweis: Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenzwert \lim_{n \to \infty}\sqrt[n] n=1.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\begin{align}
a_n =& \sqrt[n^2]{n^5+1} \\
=& \sqrt[n^2]{n^5 \cdot \left(1 + \frac{1}{n^5}\right)} \\
=& \underset{\downarrow}{\sqrt[n^2]{n^5}} \cdot \sqrt[n^2]{1 + \frac{1}{n^5}} \\
&\begin{array}{|c|}
\hline
\sqrt[n^2]{n^5} = n^\frac{5}{n^2} = \left(n^\frac{1}{n}\right)^\frac{5}{n} = \left(\sqrt[n]{n}\right)^\frac{5}{n}\\
\hline
\end{array}\\
=& \overset{\downarrow}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^\frac{5}{n}} \cdot \sqrt[n^2]{1 + \frac{1}{n^5}} \\
\end{align}

\begin{align}
\lim_{n \to \infty} a_n &= \lim_{n \to \infty} \left( \left(\sqrt[n]{n}\right)^\frac{5}{n} \cdot \sqrt[n^2]{1 + \frac{1}{n^5}} \right) \\
&= \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt[n]{n}\right)^\frac{5}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{1 + \frac{1}{n^5}} \\
&= \lim_{n \to \infty} 1^\frac{5}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{1} \\
&= 1 \cdot 1 \\
&= 1
\end{align}