TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 47

Man untersuche die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$, $\langle c_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ finde:

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}+1}}+{\frac {1}{n^{2}+2}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}+n}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}+1}}+{\frac {1}{n^{2}+2}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}+n}}$

$c_{n}={\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {n}{n^{2}}}={\frac {1}{n}}$

$b_{n}={\frac {1}{n^{2}+n}}+{\frac {1}{n^{2}+n}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}+n}}={\frac {n}{n^{2}+n}}={\frac {n}{n(n+1)}}={\frac {1}{n+1}}$

          -edit: ich glaube dass das ausgewählte bn hier nicht stimmt da es nicht kleiner gleich an ist.
          -edit2: ich glaube man kann für bn auch 0 nehmen
          -edit (frage): warum sollte bn nicht kleiner/gleich an sein?
          -edit (antwort): Weil der Nenner von (an) n²+n größer als der Nenner von (bn) n+1 ist und somit (an) immer kleinere Ergebnisse liefern wird außer bei n=1 (?) 

$lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$

und

$b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$

Daher folgt aus dem Sandwich Theorem dass:

$lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

Anmerkung Barfoos: In der Übung hat der Prof. gemeint, dass für $b_{n}$ auch eine Nullfolge genügt: $b_{n}=0$

Ähnliche Beispiele

TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_463 (sehr ausführlich erklärt)

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.