TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 47

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Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}, \langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n\leq a_n\leq c_n finde:

a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\dots +\frac{1}{n^2+n}

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\dots +\frac{1}{n^2+n}

c_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\dots +\frac{1}{n^2} = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}

b_n=\frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+\dots +\frac{1}{n^2+n} = \frac{n}{n^2+n} = \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1}

          -edit: ich glaube dass das ausgewählte bn hier nicht stimmt da es nicht kleiner gleich an ist.
          -edit2: ich glaube man kann für bn auch 0 nehmen
          -edit (frage): warum sollte bn nicht kleiner/gleich an sein?
          -edit (antwort): Weil der Nenner von (an) n²+n größer als der Nenner von (bn) n+1 ist und somit (an) immer kleinere Ergebnisse liefern wird außer bei n=1 (?) 

lim_{n \rightarrow \infty} c_n = lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0

und

 b_n \le a_n \le c_n

Daher folgt aus dem Sandwich Theorem dass:

lim_{n \rightarrow \infty} a_n= 0

Anmerkung Barfoos: In der Übung hat der Prof. gemeint, dass für b_n auch eine Nullfolge genügt: b_n =0

Ähnliche Beispiele[Bearbeiten]

TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_463 (sehr ausführlich erklärt)