TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 49

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Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}, \langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n\leq a_n\leq c_n finde:

a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+ \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+ \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}

c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+ \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2}})} = \frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}

b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+ \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}} = \frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}

lim_{n \rightarrow \infty} c_n = lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 1

und

 b_n \le a_n \le c_n

Daher folgt aus dem Sandwich Theorem dass:

lim_{n \rightarrow \infty} a_n= 1

          -edit: Frage: sollte hier nicht Etwas das im Nenner immer größer und irgendwann unendlich wird dazu führen, dass \frac{1}{n \rightarrow \infty}  gegen Null geht und somit lim_{n \rightarrow \infty} a_n= 0   ?

-edit Antwort: Nein, weil zwar n gegen Unendlich geht, jedoch auch die Anzahl der Terme die aufsummiert werden.