TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 49

Man untersuche die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$, $\langle c_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ finde:

$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\dots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+n}}}$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\dots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+n}}}$

$c_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+\dots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}={\frac {n}{\sqrt {n^{2}+1}}}={\frac {n}{{\sqrt {n^{2}(1+{\frac {1}{n^{2}}}}})}}={\frac {n}{n{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}$

$b_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+n}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+n}}}+\dots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+n}}}={\frac {n}{\sqrt {n^{2}+n}}}={\frac {n}{\sqrt {n^{2}(1+{\frac {1}{n}})}}}={\frac {n}{n{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}$

$lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=1$

und

$b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$

Daher folgt aus dem Sandwich Theorem dass:

$lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=1$

          -edit: Frage: sollte hier nicht Etwas das im Nenner immer größer und irgendwann unendlich wird dazu führen, dass ${\frac {1}{n\rightarrow \infty }}$ gegen Null geht und somit $lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ ?

-edit Antwort: Nein, weil zwar n gegen Unendlich geht, jedoch auch die Anzahl der Terme die aufsummiert werden.