TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 49

Man untersuche die Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $⟨b_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$, $⟨c_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $b_n\le a_n\le c_n$ finde:

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

$c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2}})}=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$

$b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}}=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{c}_n=li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n=1$

und

$b_n\le a_n\le c_n$

Daher folgt aus dem Sandwich Theorem dass:

$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=1$

          -edit: Frage: sollte hier nicht Etwas das im Nenner immer größer und irgendwann unendlich wird dazu führen, dass $\frac{1}{n\to \mathrm{\infty }}$ gegen Null geht und somit $li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$ ?

-edit Antwort: Nein, weil zwar n gegen Unendlich geht, jedoch auch die Anzahl der Terme die aufsummiert werden.