TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 5

Man finde alle Häufungspunkte der Folge ${\textstyle a_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}+(-1)^{n(n+1)/2}\ (n\geq 0)}$.

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Lösungsvorschlag

Zu Anfang berechnen wir die ersten paar Folgenglieder von $a_{n}$, um Vermutungen für Häufungspunkte aufzustellen.

$a_{0}=0+1=1$

$a_{1}=1+(-1)=0$

$a_{2}=0+(-1)=-1$

$a_{3}=(-1)+1=0$

$a_{4}=a_{0}$

$a_{5}=a_{1}$

$...$

Aus der Berechnung dieser Folgeglieder nehmen wir an, dass unsere Häufungspunkte $\{0,-1,1\}$ sind. Es gilt jetzt nur noch zu zeigen, dass die Folge keine anderen Zahlen annehmen kann.

Nun kann die Folge $a_{n}$ als $a_{n}=b_{n}+c_{n}$ angeschrieben werden, wobei $b_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}$ und $c_{n}=(-1)^{n(n+1)/2}$.

Betrachten wir zunächst $b_{n}$. Aus der Tatsache, dass es sich bei $b_{n}$ um eine Sinusfunktion, und somit eine periodische Funktion handelt, kann man leicht zeigen, dass diese für alle $n$ sich wie angenommen periodisch verhält. Dafür betrachten wir jedes erste, zweite, dritte und vierte Folgeglied.

$b_{4n}=\sin {\frac {4n\pi }{2}}=\sin 2n\pi =0$

$b_{4n+1}=\sin {\frac {(4n+1)\pi }{2}}=\sin(2n\pi +{\frac {\pi }{2}})=1$

$b_{4n+2}=\sin {\frac {(4n+2)\pi }{2}}=\sin(2n\pi +\pi )=0$

$b_{4n+3}=\sin {\frac {(4n+3)\pi }{2}}=\sin(2n\pi +{\frac {3\pi }{2}})=-1$

Somit haben wir gezeigt, dass $b_{n}$ sich für alle $n\in \mathbb {N}$ periodisch verhält. Nun dasselbe für $c_{n}$, jedoch beachten wir hier nur den Exponenten. Ist dieser gerade ), so ist $c_{n}=1$, ansonsten ist $c_{n}=-1$. Andere Zahlen können durch Potenzieren von $(-1)$ nicht angenommen werden. Wir bezeichnen diese Folge als $expc_{n}$. Wie beim der vorherigen Folge nehmen wir an, dass sich $c_{n}$ periodisch mit Periodenlänge 4 verhält.

$expc_{4n}=4n(4n+1)/2=8n^{2}+2n$

$expc_{4n+1}=(4n+1)(4n+2)/2=8n^{2}+6n+1$

$expc_{4n+2}=(4n+2)(4n+3)/2=8n^{2}+10n+3$

$expc_{4n+3}=(4n+3)(4n+4)/2=8n^{2}+14n+6$

Nachdem wir alle Variablen mit geraden Koeffizienten ignorieren können, müssen wir hier nur die alleinstehende Zahl betrachten. Diese ist bei $4n$ und $4n+3$ gerade, während sie bei $4n+1$ und $4n+2$ ungerade ist. Daher haben wir die Periodizität mit Periodenlänge 4 bewiesen und können nun unsere angenommen Häufungspunkte verifizieren.

Somit sind die Häufungspunkte von $a_{n}$ $\{0,-1,1\}$.