TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 5

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Man finde alle Häufungspunkte der Folge {\textstyle a_n = \sin \frac{n\pi}{2}+(-1)^{n(n+1)/2}\ (n \ge 0)}.

Lösungsvorschlag[edit]

Zu Anfang berechnen wir die ersten paar Folgenglieder von  a_n , um Vermutungen für Häufungspunkte aufzustellen.

a_0 = 0 + 1 = 1

a_1 = 1 + (-1)  = 0

a_2 = 0 + (-1) = -1

a_3 = (-1) + 1 = 0

a_4 = a_0

a_5 = a_1

...

Aus der Berechnung dieser Folgeglieder nehmen wir an, dass unsere Häufungspunkte  \{0,-1, 1\} sind. Es gilt jetzt nur noch zu zeigen, dass die Folge keine anderen Zahlen annehmen kann.

Nun kann die Folge  a_n als  a_n = b_n + c_n angeschrieben werden, wobei  b_n = \sin \frac{n\pi}{2} und  c_n = (-1)^{n(n+1)/2} .

Betrachten wir zunächst  b_n . Aus der Tatsache, dass es sich bei  b_n um eine Sinusfunktion, und somit eine periodische Funktion handelt, kann man leicht zeigen, dass diese für alle n sich wie angenommen periodisch verhält. Dafür betrachten wir jedes erste, zweite, dritte und vierte Folgeglied.

 b_{4n} = \sin \frac{4n\pi}{2} = \sin 2n\pi = 0

 b_{4n+1} = \sin \frac{(4n+1)\pi}{2} = \sin (2n\pi+\frac{\pi}{2}) = 1

 b_{4n+2} = \sin \frac{(4n+2)\pi}{2} = \sin (2n\pi+\pi) = 0

 b_{4n+3} = \sin \frac{(4n+3)\pi}{2} = \sin (2n\pi+\frac{3\pi}{2}) = -1

Somit haben wir gezeigt, dass  b_n sich für alle  n \in \mathbb{N} periodisch verhält. Nun dasselbe für  c_n , jedoch beachten wir hier nur den Exponenten. Ist dieser gerade ), so ist  c_n=1 , ansonsten ist  c_n=-1 . Andere Zahlen können durch Potenzieren von  (-1) nicht angenommen werden. Wir bezeichnen diese Folge als  expc_n . Wie beim der vorherigen Folge nehmen wir an, dass sich  c_n periodisch mit Periodenlänge 4 verhält.

expc_{4n}=4n(4n+1)/2=8n^2+2n

expc_{4n+1}=(4n+1)(4n+2)/2=8n^2+6n+1

expc_{4n+2}=(4n+2)(4n+3)/2=8n^2+10n+3

expc_{4n+3}=(4n+3)(4n+4)/2=8n^2+14n+6

Nachdem wir alle Variablen mit geraden Koeffizienten ignorieren können, müssen wir hier nur die alleinstehende Zahl betrachten. Diese ist bei 4n und 4n+3 gerade, während sie bei 4n+1 und 4n+2 ungerade ist. Daher haben wir die Periodizität mit Periodenlänge 4 bewiesen und können nun unsere angenommen Häufungspunkte verifizieren.

Somit sind die Häufungspunkte von  a_n  \{0,-1, 1\} .