TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 54

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {2}{n^{2}}}+\cdots +{\frac {n}{n^{2}}},\quad n\geq 1$,

für $n\rightarrow \infty$.

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Hilfreiches

Gaußsche Summenformel

Gaußsche Summenformel

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\ldots +n={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

Wikipedia

Lösungsweg

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Die Folge kann vereinfacht werden, indem man alles auf einen Bruch schreibt. Mit Hilfe der Gauß'schen Summenformel ${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$ bekommen wir dann eine schöne Formel:

$a_{n}={\frac {1+2+...+n}{n^{2}}}={\frac {n(n+1)}{2n^{2}}}={\frac {n^{2}+n}{2n^{2}}}={\frac {n^{2}(1+{\frac {1}{n}})}{2n^{2}}}={\frac {1+{\frac {1}{n}}}{2}}$

Zuletzt einfach den Grenzwert ansehen (${\tfrac {1}{n}}\rightarrow 0$)

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{2}}={\frac {1}{2}}$

Fertig
--DeepThought (Diskussion) 07:41, 29. Jun. 2013 (CEST)