TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 80

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\ge 1}\frac{(n^2+1{)}^n}{{\sqrt{n}}^{n^2}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag

Hier wendet man das Wurzelkriterium in Limesform an und kommt relativ schnell zu einem Ergebnis.

$\sqrt[n]{\frac{(n^2+1{)}^n}{{\sqrt{n}}^{n^2}}}=\frac{n^2+1}{\sqrt[n]{{\sqrt{n}}^{n^2}}}=\frac{n^2+1}{n^{\frac{1}{2}{n}^2\frac{1}{n}}}=\frac{n^2+1}{n^{\frac{n}{2}}}=\frac{n^2(1+\frac{1}{n^2})}{n^2(n^{\frac{n}{2}-2})}=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{n^{\frac{n}{2}-2}}$

Von diesem Term kann man nun einfach den Grenzwert berechnen:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\frac{1+\frac{1}{n^2}}{n^{\frac{n}{2}-2}}=0$

Der Grenzwert ist kleiner $1$, somit ist gemäß dem Wurzelkriterium die Reihe konvergent.