TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 92

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum \limits _{n\geq 0}{\binom {\frac {1}{2}}{n}}x^{n},|x|<1$

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Hilfreiches

Folgende Theoreme werden gebraucht:

Limesform des Quotientenkriteriums:

1. $\limsup \left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$, so ist $\sum \limits _{k=0}^{\infty }$ absolut konvergent.
2. $\limsup \left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|>1$, so ist$\sum \limits _{k=0}^{\infty }$ divergent.
3. $\limsup \left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq 1\leq \lim sup|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}|<1$, so ist keine Aussage möglich.

Binominalkoeeffizient:

Sei n eine reelle und k eine nicht-negative ganze Zahl (natürliche Zahl oder Null). Dann nennt man

${\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n(n-1)(n-2)\dotsm (n-(k-1))}{k!}},&{\text{wenn }}k>0\\1,&{\text{wenn }}k=0\\0,&{\text{wenn }}k<0\end{cases}}$

den Binomialkoeffizienten n über k.

Für nicht-negatives ganzzahliges n läßt sich der Binomialkoeffizient auch schreiben als

${\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n!}{k!(n-k)!}},&{\text{wenn }}k\leq 0\\1,&{\text{wenn }}k=0\\\end{cases}}$

Lösungsvorschlag

Ausgeschrieben wäre das:

${\binom {\frac {1}{2}}{k}}={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\cdots \left(-{\frac {2k-3}{2}}\right)}{k!}}$

Wir berechnen anhand des Quotientenkriteriums den Grenzwert der Reihe. Dazu benötigen wir die Folgenglieder $a_{k}$ und $a_{k+1}$, die wir mit Hilfe des Binominalkoeffizienten berechnen.

$a_{k}={\binom {\frac {1}{2}}{k}}x^{k}={\frac {1/2!}{k!(1/2-k)!}}x^{k}$

$a_{k+1}={\binom {\frac {1}{2}}{k+1}}x^{k+1}={\frac {1/2!}{k!(1/2-(k+1))!}}x^{k+1}$

Berechnung für das Quotientenkriterium:

${\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {{\frac {{\frac {1}{2}}!}{k!({\frac {1}{2}}-(k+1))!}}x^{\cancel {k+1}}}{{\frac {{\frac {1}{2}}!}{k!({\frac {1}{2}}-k)!}}{\cancel {x^{k}}}}}={\frac {{\frac {{\frac {1}{2}}!}{k!({\frac {1}{2}}-k-1))!}}x}{\frac {{\frac {1}{2}}!}{k!({\frac {1}{2}}-k)!}}}={\frac {{\cancel {{\frac {1}{2}}!k!}}({\frac {1}{2}}-k)!x}{{\cancel {{\frac {1}{2}}!k!}}(-{\frac {1}{2}}-k))!}}=$

$={\frac {({\frac {1}{2}}-k)!x}{(-{\frac {1}{2}}-k))!}}={\frac {({\frac {1}{2}}!-k!)x}{-{\frac {1}{2}}!-k!}}={\frac {(k!-{\frac {1}{2}}!)x}{k!+{\frac {1}{2}}!}}={\frac {xk!-{\frac {x}{2}}!}{k!+{\frac {1}{2}}!}}={\frac {2xk!-x!}{2k!-1}}$

$\limsup _{k\to \infty }\left|{\frac {2xk!-x!}{2k!-1}}\right|=\left|{\frac {2x-{\frac {x!}{k!}}}{2-{\frac {1}{k!}}}}\right|=\left|{\frac {2x-0}{2-0}}\right|=\left|x\right|$

Gilt somit für alle $k<0$, also z.B $x^{1/2}$, $x^{1/3}$ , etc. ...

Anmerkung: Es ergibt keinen Sinn, dass bei $a_{k+1}$ nicht jedes k um eins erhöht wird. Hat sich hier ein Fehler eingeschlichen?

Anmerkung: Folgender Fehler hat sich eingeschlichen. Beim berechnen vom Konvergenzradius von einer Reihe der Form: Summe a_n*(x-x_0)^n rechnet man den lim sup von |a_n+1/a_n| aus. Das heißt den Teil mit x^n lässt man weg. Ich bin auf das Ergebnis R = -1 gekommen