TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 145

Wie ist $t$ zu wählen, damit die Funktion $f(x)=(x^2+t)/(x-t)$ in einer Umgebung der Stelle $x_0=1$ streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$   (Satz 5.5)

Lösung von Triotex

Theoretisches: Die erste Ableitung einer Funktion entspricht der Steigung. Eine streng monoton fallende Funktion hat eine negative Steigung.

Keine Garantie auf das hier!!!

Skizze für die Lösung t>1/3

Angabe:

$f\left(x\right)=\left(\frac{x^2+t}{x-t}\right)$

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f{}^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}$

f und g:

$f=x^2+t$

$f^{\prime }=2x$

$g=x-t$

$g^{\prime }=1$

Ableitung bilden:

$\frac{2x(x-t)-(x^2+t)}{{(x-t)}^2}=$

$=\frac{2x^2-2xt-x^2-t}{{(x-t)}^2}$

für x0=1:

$x_0=1;$

$\frac{1-2t-t}{{(1-t)}^2}<0$

$1-3t<0$

$t>\frac{1}{3}$

Wenn t>1/3 ist, ergibt sich ein negatives Ergebnis der 1. Ableitung im Punkt x0=1. Daher streng monoton fallend.

Beispiel für Graphen aus der Skizze: $y=\left(\frac{x^2+\left(\frac{4}{9}\right)}{(x-\frac{4}{9})}\right)$

Anmerkung von fallingcats:

Die Ungleichung $\frac{1-2t-t}{{(1-t)}^2}<0$ hat zwei Lösungen:

$\frac{1}{3}<t<1$ und $t>1$

Eine davon vor der Nullstelle bei t=1, eine danach.

Links

• Diskussion im Informatik-Forum