TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 262

Man berechne:

${\int }_0^1\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung

Das unbestimmte Integral berechnen:

$\int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot xdx$

Wir substituieren

$u=1+x^2$ und berechnen $u^{\prime }=2x$

$du=u^{\prime }dx=2xdx$

$\frac{1}{2}du=xdx$

Substitutiert:

$\begin{array}{cc}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{2}du& =\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du\\ & =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{u}+c\\ & =\sqrt{u}+c\\ & =\sqrt{1+x^2}+c\end{array}$

Grenzen einsetzen:

$\sqrt{1+x^2}{|}_0^1=\sqrt{1+1^2}-\sqrt{1+0^2}=\sqrt{2}-1$

Links

• Dieses Integral auf Wolfram Alpha