TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 240

Man berechne:

$\int \arccos x\,dx$

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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

$f(x)=arccos(x)$

$f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$g'(x)=1$

$g(x)=x$

$f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)dx$

$x\cdot arccos(x)-\int ({\frac {-1\cdot x}{\sqrt {1-x^{2}}}})dx$

$u={\sqrt {1-x^{2}}}$

${\frac {du}{dx}}={\frac {-1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\cdot 2x\rightarrow du={\frac {-1\cdot x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx$

$x\cdot arccos(x)-\int ({\frac {-1\cdot x}{\sqrt {1-x^{2}}}})dx\rightarrow x\cdot arccos(x)-\int du$

$x\cdot arccos(x)-u+C=x\cdot arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

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