TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 246

Man berechne:

$\int (x^{2}+1)e^{-2x}dx$

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Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösung

Von

$\int (x^{2}+1)e^{-2x}dx$

kommt man durch zweifaches partielles Integrieren auf:

1. Integration

$(x^{2}+1)*{\frac {e^{-2x}}{-2}}-\int {2x*{\frac {e^{-2x}}{-2}}dx}$

Im Integral die 2er weggkürzen und das -1 herausheben:

$(x^{2}+1)*{\frac {e^{-2x}}{-2}}+\int x*e^{-2x}dx$

2. Integration

$(x^{2}+1)*{\frac {e^{-2x}}{-2}}+x*{\frac {e^{-2x}}{-2}}-\int {\frac {e^{-2x}}{-2}}dx$

Jetzt kann das Integral vollständig gelöst werden. $1/-2$ wird wieder vor der Integration aus dem Integral herausgezogen.

$(x^{2}+1)*{\frac {e^{-2x}}{-2}}+x*{\frac {e^{-2x}}{-2}}+{\frac {1}{2}}*{\frac {e^{-2x}}{-2}}$

Vereinfachen

${\frac {e^{-2x}}{-2}}*(x^{2}+x+{\frac {3}{2}})$