TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 401

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y^{\prime }+\frac{1}{1+2x}y=2x-3,y(0)=2$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst ein paar Nebenrechnungen die wir später brauchen werden:

$-\int \frac{dx}{1+2x}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=-\frac{1}{2}ln|t|+C=-\frac{1}{2}ln|1+2x|+C=ln|\frac{1}{\sqrt{1+2x}}|+C$

$\int (2x-3)\sqrt{1+2x}dx=\int (2x-3)\sqrt{1+2x}\sqrt{1+2x}dt=\int (2x-3)(1+2x)dt=\int (\frac{2(t^2-1)}{2}-3)(1+\frac{2(t^2-1)}{2})dt=\int (t^4-4t^2)dt=\frac{t^5}{5}-\frac{4t^3}{3}+C$

$\int (2x-3)\sqrt{1+2x}dx=\frac{\sqrt{(1+2x{)}^5}}{5}-\frac{4\sqrt{(1+2x{)}^3}}{3}+C$

Substitution:

$t=\sqrt{1+2x}$

$x=\frac{t^2-1}{2}$

$dt=\frac{2}{2\sqrt{1+2x}}dx$

$dx=\sqrt{1+2x}dt$

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }+\frac{1}{1+2x}y=0$

$y^{\prime }=-\frac{1}{1+2x}y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+2x}y$

$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{1+2x}y$

$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{1+2x}y$

$ln|y|=ln|\frac{1}{\sqrt{1+2x}}|$

$y_h(x)=\frac{C}{\sqrt{1+2x}}$

EDIT: Zeile 4 stimmt nicht, da muss durch y dividiert werden. Somit fällt das y auf der rechten Seite weg

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=\frac{C(x)}{\sqrt{1+2x}}$

Einsetzen:

$\frac{C^{\prime }(x)}{\sqrt{1+2x}}-\frac{C(x)}{\sqrt{(1+2x{)}^3}}+\frac{C(x)}{\sqrt{1+2x}(1+2x)}=2x-3$

$\frac{C^{\prime }(x)}{\sqrt{1+2x}}=2x-3$

$C^{\prime }(x)=(2x-3)\sqrt{1+2x}$

$C(x)=\int (2x-3)\sqrt{1+2x}dx$

$C(x)=\frac{\sqrt{(1+2x{)}^5}}{5}-\frac{\sqrt{(1+2x{)}^3}}{3}$

$y_p(x)=\frac{C(x)}{\sqrt{1+2x}}=\frac{\sqrt{(1+2x{)}^5}}{5\sqrt{1+2x}}-\frac{4\sqrt{(1+2x{)}^3}}{3\sqrt{1+2x}}=\frac{(1+2x{)}^2}{5}-\frac{4(1+2x)}{3}$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=\frac{C}{\sqrt{1+2x}}+\frac{(1+2x{)}^2}{5}-\frac{4(1+2x)}{3}$

$y(0)=2$

Einsetzen:

$2=\frac{C}{\sqrt{1+2\ast 0}}+\frac{(1+2\ast 0{)}^2}{5}-4\frac{(1+2\ast 0)}{3}$

Dann erhält man:

$C=\frac{47}{15}$

Die spezifische Lösung lautet also:

$y=\frac{47}{15\sqrt{1+2x}}+\frac{(1+2x{)}^2}{5}-4\frac{(1+2x)}{3}$