TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 408

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung

$y^{″}+2y^{\prime }+2y=0$

zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$.

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Lösungsvorschlag

Allgemeine Lösung

$y^{″}+2y^{\prime }+2y=0$

Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2+2\lambda +2=0$

${\lambda }_{1,2}=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{2}{2}\right)}^2-2}$

$\Rightarrow {\lambda }_1=-1+i,{\lambda }_2=-1-i$

${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℂ,{\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$

Ansatz: $y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$

$\Rightarrow y(x)=e^{-x}(C_1\cos x+C_2\sin x)$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Anfangsbedingungen

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }(x)& =-1\cdot e^{-x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^{-x}(-C_1\sin x+C_2\cos x)\\ & =e^{-x}(C_2\cos x-C_1\sin x-C_1\cos x-C_2\sin x)\\ & =e^{-x}(C_2(\cos x-\sin x)-C_1(\sin x+\cos x))\end{array}$

$\begin{array}{cc}y(0)=1& =e^{-0}\cdot (C_1\cos 0+C_2\sin 0)\\ 1& =1\cdot (C_1\cdot 1+C_2\cdot 0)\\ C_1& =1\end{array}$

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }(0)=0& =e^{-0}(C_2(\cos 0-\sin 0)-C_1(\sin 0+\cos 0))\\ 0& =1\cdot (C_2(1-0)-C_1(0+1))\\ 0& =C_2-C_1\\ C_1& =C_2=1\end{array}$

Die partikuläre Lösung ist daher:

$y(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)$

Lösungs aus 2004

Lösung aus 2004