TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 410

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$x{y}^{\prime }-y=x^3+3x^2-2x$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ bringen:

$y^{\prime }-\frac{y}{x}=x^2+3x-2$

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }-\frac{y}{x}=0$

$y^{\prime }=\frac{y}{x}$

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}$

$y_h(x)=Cx$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=C(x)x$

Einsetzen:

$C^{\prime }(x)x+C(x)-\frac{C(x)x}{x}=x^2+3x-2$

$C^{\prime }(x)x=x^2+3x-2$

$C^{\prime }(x)=x+3-\frac{2}{x}$

$C(x)=\int (x+3-\frac{2}{x})dx=\frac{x^2}{2}+3x-2ln|x|$

$y_p(x)=C(x)x=\frac{x^3}{2}+3x^2-2xln|x|$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=Cx+\frac{x^3}{2}+3x^2-2xln|x|$