TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 48

Man untersuche die Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $⟨b_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$, $⟨c_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $b_n\le a_n\le c_n$ finde:

$a_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+2{)}^2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{(n+n{)}^2}$

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Lösungsvorschlag von --W wallner

Der folgende Beweis wurde in der Übung am 24.01.08 durch den Tutor als korrekt bestätigt.

Die Werte von $a_n$ beginnen bei $\frac{1}{4}$ (für n=1) und fallen dann ziemlich schnell ab. Wenn man sich die Werte in einem Diagramm darstellen lässt, liegt der Verdacht nahe, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

Ich habe folgende Folgen für den Beweis des Sandwich-Theorems gewählt:

$b_n=0$

$c_n=\frac{1}{n}$

$b_n$ und $c_n$ konvergieren beide gegen 0, wobei $b_n<a_n$ und $c_n>a_n$ gilt. Die Auswahl der beiden Folgen ist willkürlich, d.h. der Beweis würde genau so gut mit anderen Folgen funktionieren, wenn diese Folgen die Kriterien erfüllen.

Begründung für $b_n$: Wir suchen eine beliebige Folge die immer kleiner ist als $a_n$ und gegen 0 konvergiert. Die einfachste Folge ist $b_n=0$.

Begründung für $c_n$:

Wir suchen eine uns bekannte (und möglichst einfache) Folge, die gegen 0 konvergiert, aber immer größer als $a_n$ ist. Welche Folge wir dafür benutzen ist egal. Wir versuchen also die Folge $a_n$ so zu vereinfachen, dass wir eine größere Folge erhalten. Wenn wir in $a_n$ alle Ausdrücke wie (n+1), (n+2), (n+3), etc. durch (n+0) = (n) ersetzen, erhalten wir statt

$a_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+2{)}^2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{(n+n{)}^2}$

diesen Ausdruck

$c_n=\frac{1}{(n{)}^2}+\frac{1}{(n{)}^2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{(n{)}^2}$

Dieser Ausdruck ist immer größer als der ursprüngliche, weil die Nenner immer kleiner sind. Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass er gegen 0 konvergiert. Wir vereinfachen daher:

$c_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n^2}=$

$c_n=\frac{n}{n^2}=$

$c_n=\frac{1}{n}$

Und dieser Ausdruck konvergiert gegen 0:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$

mfg, --W wallner

Anmerkung von loop

$c_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n^2}=$

Wo konvergiert das gegen 0? Für mich ist das eine gleichbleibende Folge ohne Grenzwert, da verändert sich ja nichts.

Antwort von Blµb

bei n=5: $c_n=\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$

bei n=6 $c_n=6\cdot \frac{1}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

somit ist das ergebnis wie oben bei jedem n: $c_n=\frac{1}{n}$ und je höher n, desto näher ist das Ergebnis bei 0

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$

Nützliches

Wikipedia-Artikel zum Sandwich-Theorem

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