TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 73

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\ge 0}\frac{n-2}{2n^3+5n-3}$

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Hilfreiches

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_n$ konvergent und $\left|a_n\right|\le b_n$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösung von w1n5t0n

Grobabschätzung

Zu beginn kann man sich diese Folge einmal genau anschauen, und man wird feststellen, wenn man alle Summanden kleinerer Ordnung weglässt, dass $\frac{n}{2n^3}$ übrig bleibt, somit $\frac{1}{2n^2}$

Hiervon kann man bereits sagen, da ja bei der hyperharmonischen Reihe ($\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^{\alpha }}$) für $\alpha >1$ konvergiert, wird diese Reihe ebenfalls konvergieren.

Majorante

Da dies alleine aber noch zu wenig ist, kann man dies außerdem noch mittels einer geschickt gewählten Majorante untermauern.

Da wir als Term einen Bruch haben, müssen die Elemente im Zähler nach oben abgeschätzt werden, und der Term in Nenner nach unten (da ja der Wert Reziprok genommen wird). Entsprechend wählen wir folgende Werte: Im Zähler $n-2<n,\mathrm{\forall }n$ und im Nenner: $2n^3+5n-3>2n^3,\mathrm{\forall }n\ge 1$.

Also erhalten wir, wie schon oben angedeutet: $\frac{n}{2n^3}$, nach Kürzen $\frac{1}{2n^2}$. Wobei ein Konstanter Faktor herausgehoben werden kann: $\frac{1}{2}\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}$

Konvergenz

Allgemein ist bekannt, dass $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$. Trotzdem möchte ich den Beweis hierfür nochmals anführen, indem ich erneut eine Majorante anwende und dadurch eine Teleskopreihe erzeuge, bei der viele Terme wegfallen.

Teleskopreihe

$\sum _{n\ge 1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\le \sum _{n\ge 1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n-1)}$ und mittels einer einfachen Umformung kommt man auf: $\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$. Nun sind wir bereit für die Teleskopreihe. Wenn wir nun die Reihe erstellen bekommen wir folgende Terme: $(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\mathrm{...}+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$ und für $n\to \mathrm{\infty }$ wird der letzte Term 0. Da sich nun alle anderen Terme wegkürzen bleibt somit 1 übrig und damit ist die Konvergenz der ursprünglichen Reihe bewiesen.

Q.E.D. --W1n5t0n 20:27, 22. Jun. 2009 (CEST)