TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 119

Man skizziere den Verlauf der Funktion $f:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ,f(x)=\sin \frac{1}{x}$ und beweise, dass $f(x)$ an der Stelle $x_0=0$ keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen $x_n=\frac{1}{n\pi }$ und $x_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$ betrachtet.

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösungsvorschlag von Manül

Nullfolge checken:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n\pi }=0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}=0$

Einsetzen:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin \frac{1}{x_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (n\pi )=0$, denn $\sin (n\pi )=0$ für alle $n\in \mathbb{N}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin \frac{1}{x_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=1$, denn $\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=1$ für alle $n\in \mathbb{N}$

$0\ne 1\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}f(x)$ existiert nicht.