Man berechne das unbestimmte Integral
.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Mathebuch Seite 208-209, ist genau dieses Bsp. zu finden... Ja, der erste Versuch ist bei der Partialbruchzerlegung falsch.
ausklammern und auf vollständiges Quadrat ergänzen, dann ![{\displaystyle (x+1)^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1feea498b844e797157b9b4c9fdcc32e&mode=mathml)
nochmal ausklammern:
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{x(x^{2}+x-1+x+2)-1-x^{2}-2x}}={\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0942786fba72ec2bdb1950f1c69dfac2&mode=mathml)
jetzt Partialbruchzerlegung
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}={\frac {Ax+B}{(x+1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)}}=>A=B=C={\frac {1}{2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=863998916d8ab0273175ead35f2b8fbd&mode=mathml)
1/2 ausklammern, dann integrieren:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}*\int {\frac {x}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{(x-1)}}\,dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be447f44c447df4724ffbb19431a3230&mode=mathml)
Laut Mathematica müsste das stimmen:
Ich glaube der Fehler liegt bei der Partialbruchzerlegung, ich bekomme da:
Die Partialbruchzerlegung der Lösung stimmt glaub ich nicht:
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}={\frac {Ax+B}{(x+1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)}}=>A=B=C={\frac {1}{2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=863998916d8ab0273175ead35f2b8fbd&mode=mathml)
Der Term
deutet auf eine nicht reelle Nullstelle hin.
hat aber eine reelle (doppelte) Nullstelle auf x = -1
Mein Vorschlag zum Partialbruch (deckt sich mit Alkogans Kommentar):
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}}={\frac {A}{(x-1)}}+{\frac {B}{(x+1)}}+{\frac {C}{(x+1)^{2}}}=>A=B={\frac {1}{2}},C=-1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2cb709e3ac940e2a22de807f9169ddc8&mode=mathml)
und daher, die Lösung von Alkogan:
![{\displaystyle \int {\frac {x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}-x-1}}\,dx={\frac {1}{1+x}}+{\frac {1}{2}}ln|x-1|+{\frac {1}{2}}ln|1+x|+c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f579949b0ae32bfbb04c2b0349b5d34a&mode=mathml)
Siehe Buch Seite 208-209.