TU Wien:Analysis VU (Panholzer)/Prüfung 2024-06-28

Aufgabe 1

[10 Punkte]

Unter Zuhilfenahme von in der Vorlesung kennengelernten Konvergenzkriterien untersuche man die folgenden beiden Reihen auf Konvergenz und gebe begründete Antworten, ob Konvergenz vorliegt oder nicht. Dabei ist das jeweils verwendete Konvergenzkriterium, zusammen mit einer genauen Formulierung, anzugeben, sowie zu prüfen, ob die Voraussetzungen für die jeweilige Reihe erfüllt sind.

(a) $R_{1}=\sum _{n\geq _{1}}{\frac {n^{2}}{2^{n}}}$

(b) $R_{2}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\sqrt {n+1}}{n}}$

Aufgabe 2

[10 Punkte]

Eine ebene Kurve (Parabel) ist implizit gegeben durch die Gleichung

$F(x,y):=(x-y)^{2}-2x-6y+1=0$.

(a) Durch implizites Differenzieren bestimme man die Ableitung $y'(x)={\frac {dy}{dx}}$.

(b) Man ermittle alle Punkte auf der Kurve, in denen die Tangente horizontal verläuft.

(c) Man ermittle alle Punkte auf der Kurve, in denen die Tangente vertikal verläuft (und somit der Hauptsatz über implizite Funktionen nicht anwendbar ist).

Aufgabe 3

[10 Punkte]

(a) Man gebe eine exakte Definition dafür, dass eine reelle Funktion $f(x)$ stetig an einer Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$ ist.

(b) Man formuliere den Nullstellensatz von Bolzano für stetige Funktionen (Voraussetzungen, Aussage!) und veranschauliche den Sachverhalt in einer Skizze.

(c) Man gebe eine exakte Definition dafür, dass eine reelle Funktion $f(x)$ differenzierbar an einer Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$ ist.

(d) Man formuliere den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung für differenzierbare Funktionen (Voraussetzungen, Aussage!) und veranschauliche den Sachverhalt in einer Skizze.

Aufgabe 4

[10 Punkte = 2 * Anzahl korrekter Antworten in Tabelle]

Man finde die Antworten auf folgende kurze Aufgaben und trage diese anschließend in die Tabelle ein. Es werden für die Bewertung ausschließlich die in die Tabelle eingetragenen Werte herangezogen, Nebenüberlegungen und Rechnungen können selbstverständlich separat auf dem Blatt durchgeführt werden, gehen aber nicht in die Beurteilung ein! Für jede korrekte Antwort in Tabelle gibt es zwei Punkte; es werden für inkorrekte Antworten KEINE Punkte abgezogen.

Aufgabe	Antwort $\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$
Man berechne das folgende bestimmte Integral: $\int _{0}^{2\pi }\sin(x)dx$	0
Man berechne das folgende uneigentliche Integral: $\int _{0}^{\infty }xe^{-x}dx$	1
Man bestimme für die reelle Funktion $g(x)=x^{2}e^{-x}$ die eindeutig bestimmte Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$, wo g ein lokales Maximum besitzt.	2
Man bestimme für die reelle Funktion $g(x)=x^{2}e^{-x}$ die eindeutig bestimmte Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$, wo g ein lokales Minimum besitzt.	0
Man bestimme für die reelle Funktion $h:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R}$ mit ${\textstyle h(x,y)={\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}}}$, für $(x,y)\neq (0,0)$, den folgenden Grenzwert: $\lim _{t\to 0}h(t,-t)$	-1

Aufgabe 5

[10 Punkte = Anzahl vollständig korrekter Antworten in Tabelle]

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werde für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen).

Welche der folgenden asymptotischen Beziehungen für Folgen (mit $n\to \infty$) gelten?

• $n\sim n^{2}$
• $n=O(n^{2})$ (x)
• $n=o(n^{2})$ (x)

Welche der folgenden Θ-Beziehungen für Folgen (mit $n\to \infty$) gelten?

• $2n=\Theta (n)$ (x)
• $(2n)^{2}=\Theta (n^{2})$ (x)
• $2^{2n}=\Theta (2^{n})$

Wenn eine Folge $(a_{n})_{n}$ beschränkt ist, was gilt dann für $(a_{n})$ auf jeden Fall noch?

• $a_{n}$ ist monoton

• $a_{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge (x)
• $a_{n}$ ist konvergent

Wenn eine Folge $(a_{n})_{n}$ monoton ist, was gilt dann für $(a_{n})$ auf jeden Fall noch?

• $a_{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge
• $a_{n}$ ist beschränkt
• $a_{n}$ besitzt genau einen (eigentlichen oder uneigentlichen) Häufungspunkt (x)

Gegeben sei die Folge $(a_{n})_{n\geq 1}$ mit ${\textstyle a_{n}={\frac {\cos(n)}{n}}}$. Was gilt?

• $a_{n}$ ist beschränkt (x)
• $a_{n}$ ist eine Nullfolge (x)

• $a_{n}$ ist monoton

Falls eine Reihe ${\textstyle \sum _{n\geq _{0}}a_{n}}$ konvergiert, was gilt dann jedenfalls?

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ (x)
• ${\textstyle \sum _{n\geq _{0}}|a_{n}|}$ konvergiert
• Partialsummenfolge $s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ konvergiert (x)

Die Potenzreihe ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ besitzt den Konvergenzradius R = 1.

Für Welche der folgenden komplexen Zahlen konvergiert somit die Reihe?

• ${\textstyle z={\frac {1+i}{2}}}$ (x)
• ${\textstyle z=1+i}$
• ${\textstyle z={\frac {1}{1+i}}}$ (x)

Wie lautet die Taylorreihe von ${\textstyle e^{x}}$ um den Entwicklungspunkt ${\textstyle x_{0}=0}$?

• ${\textstyle \sum _{n\geq _{0}}x^{n}}$
• ${\textstyle \sum _{n\geq _{1}}{\frac {x^{n}}{n}}}$
• ${\textstyle \sum _{n\geq _{0}}{\frac {x^{n}}{n!}}}$ (x)

Welche der nachfolgend angegebenen reellen Funktionen $f:\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$ besitzen an der Stelle 0 einen Grenzwert?

• ${\textstyle f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$
• ${\textstyle f(x)=x*\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ (x)
• ${\textstyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ (x)

Welche der nachfolgend angegebenen reellen Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sind an der Stelle 0 differenzierbar?

• ${\textstyle f(x)=x}$ (x)
• ${\textstyle f(x)=|x|}$
• ${\textstyle f(x)=|x|^{2}}$ (x)