TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 127
Für sei , falls ein Teiler von ist und und teilerfremd sind. Man untersuche, ob die Relation R eine Halbordnung ist und ermittle gegebenfalls das Hassediagramm.
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Lösungsvorschlag von --Bobsch 11:39, 12. Nov 2007 (CET)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Reflexivität:
(eine Zahl teilt immer sich selbst)
- Reflexivität gegeben;
Antisymmetrie:
Annahme:
- Antisymmetrie gegeben;
Transitivität
Annahme:
Folgerung:
- Transitivität gegeben;
Relation ist Halbordnung
Anmerkung von m4rS bezüglich Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
mMn ist die Folgerung falsch, denn aus folgt ja, dass m und n gar nicht miteinander in Relation stehen können, weil
Lösungsvorschlag von ADmiral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- reflexiv:
Zu bew.: muss generell stimmen.
stimmt immer.
ebenfalls => Relation ist reflexiv.
- antisymmetrisch:
Zu bew.:
(das ggT-Zeug brauchen wir für den Beweis der Antisymmetrie gar nicht.)
=> Relation ist antisymmetrisch.
- transitiv: (Anm.: Ich verwende hier a, b, c statt n, k, [l,m,o,?], weil ich das für leichter lesbar halte):
Zu bew.:
sollte klar sein.
Zu beweisen ist , also .
zu beweisen wäre "nur noch" .
Dies beweisen wir durch den Schluss:
(d.h. im b ist das a nur einmal als Faktor drin).
(d.h. im c ist das b und damit das a nur einmal als Faktor drin).
=> Relation ist transitiv.
Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Diskussion Informatik-Forum WS07 Beispiel 105