Man beweise mittels vollständiger Induktion:
, wobei
Induktionsanfang:
Ergibt:
Induktionsvorraussetzung:
Es muss gezeigt werden, dass gilt:
(Alle n durch n+1 ersetzt)
Induktionsschluss:
(Nachweis der Induktionsvorraussetzung)
Schritt 1
Das Summenzeichen sagt uns, dass wir von 1 bis n+1 addieren sollen. Das ist dasselbe als würden wir zuest 1 bis n addieren und dann noch n+1 dazu geben. Daraus folgt:
(*)
Schritt 2
Aus der Angabe wissen wir (oder eher "vermuten wir"), dass
Deswegen können wir (*) umwandeln zu:
(#)
Schritt 3
Ziel ist es, die Induktionsvoraussetzung zu beweisen. Deswegen müssen wir jetzt den Term (#), der der linken Seite der Induktionsvoraussetzung entspricht, solange umformen, bis er genauso aussieht wie die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung.
Kurz gesagt, wir müssen (#) umformen, bis wir als Ergebnis bekommen:
Zur Erinnerung: dieses Ergebnis (über dieser Zeile) ist die linke Seite der Induktionsvoraussetzung umgeformt. Wir setzen nun wieder in die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten dadurch:
Q.e.d.
Anmerkung: Ziel ist es doch die Induktionsbehauptung zu beweisen, oder?