TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 11

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Man beweise mittels vollständiger Induktion:

, wobei

Induktionsanfang:

Ergibt:


Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

(Alle n durch n+1 ersetzt)


Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Schritt 1

Das Summenzeichen sagt uns, dass wir von 1 bis n+1 addieren sollen. Das ist dasselbe als würden wir zuest 1 bis n addieren und dann noch n+1 dazu geben. Daraus folgt:

(*)


Schritt 2

Aus der Angabe wissen wir (oder eher "vermuten wir"), dass

Deswegen können wir (*) umwandeln zu:

(#)


Schritt 3

Ziel ist es, die Induktionsvoraussetzung zu beweisen. Deswegen müssen wir jetzt den Term (#), der der linken Seite der Induktionsvoraussetzung entspricht, solange umformen, bis er genauso aussieht wie die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung.

Kurz gesagt, wir müssen (#) umformen, bis wir als Ergebnis bekommen:


Zur Erinnerung: dieses Ergebnis (über dieser Zeile) ist die linke Seite der Induktionsvoraussetzung umgeformt. Wir setzen nun wieder in die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten dadurch:

Q.e.d.

Anmerkung: Ziel ist es doch die Induktionsbehauptung zu beweisen, oder?