TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 12

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{j=2}^{n}{\frac {1}{j(j-1)}}={\frac {n-1}{n}}\qquad n\geq 2$

Induktionsanfang: $n=2$ Ergibt:

${\frac {1}{2(2-1}}={\frac {2-1}{2}}$

${\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ ... OK

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

$\sum _{j=2}^{n+1}{\frac {1}{j(j-1)}}={\frac {n}{n+1}}$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsbehauptung)

Die rechte Seite wird mit ${\frac {1}{(n+1)(n+1-1)}}$ addiert. Im folgenden wird nur die rechte Seite gerechnet - es soll sich ergeben: ${\frac {n}{n+1}}$

${\frac {n-1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)n}}=$

$={\frac {(n-1)(n+1)+1}{n(n+1)}}=$

$={\frac {n^{2}-1+1}{n(n+1)}}=$

$={\frac {n^{2}-1+1}{n(n+1)}}=$

$={\frac {n^{2}}{n(n+1)}}=$

$={\frac {n}{n+1}}$

Q.e.d.