TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 13

Beweise mit vollständiger Induktion:

$\sum _{j=0}^{n}j{2}^j=2^{n+1}(n-1)+2$, wobei: $\left(n\ge 0\right)$

Beweis

(i) Induktionsanfang

$n=0:2^{0+1}(0-1)+2=0$

(ii) Induktionsschritt

Induktionvoraussetzung:

$\sum _{j=0}^{n}j{2}^j=2^{n+1}(n-1)+2$, für: $\left(n\ge 0\right)$

Induktionsbehauptung:

$\sum _{j=0}^{n+1}j{2}^j=2^{n+1+1}.(n+1-1)+2$

$\sum _{j=0}^{n+1}j{2}^j=2^{n+2}.n+2$

$\sum _{j=0}^{n+1}j{2}^j=\sum _{j=0}^{n}j{2}^j+(n+1).2^{n+1}$

$\sum _{j=0}^{n+1}j{2}^j=2^{n+1}(n-1)+2+(n+1).2^{n+1}$

$\sum _{j=0}^{n+1}j{2}^j=2^{n+1}(n-1+n+1)+2=2^{n+1}.2n+2$

$\sum _{j=0}^{n+1}j{2}^j=2^{n+2}.n+2$