TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS09/Beispiel 135

Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus einem 50-bändigen Lexikon genau 6 Bücher auszuwählen, wobei zwischen zwei ausgewählten Bänden immer mindestens drei im Regal stehen bleiben sollen?

Wir wählen aus 50 Bänden genau 6 aus und lassen zwischen zwei ausgewählten Bänden mind. 3 Bände stehen. Daher bekommen wir dieses Schema:

_Axxx_Axxx_Axxx_Axxx_Axxx_A_

Die "A" sind die gewählten Bände, die "x" stehen für die Bände, die stehen bleiben müssen, und "_" sind die freien Plätze, die mit "beliebig" vielen Bänden gefüllt werden. Da 6 Bände ausgewählt werden und 15 Bände als "Puffer" dienen sind 21 Bände bereits fix. Die restlichen 29 (=50-21) müssen also noch auf die 7 freien Plätze ("_") verteilt werden. Da es sich hierbei um eine Kombination mit Wiederholung handelt, setzen wir in die Formel ${\begin{pmatrix}n+k-1\\k\end{pmatrix}}$ ein und kommen somit zu folgendem Ergebnis:

${\begin{pmatrix}7+29-1\\29\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}35\\29\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}35\\6\end{pmatrix}}=1623160$

lg f.l.o.