TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 442

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Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von über dem Körper .

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existiert ein Programm-Entwurf (als Text) zur Suche der Restklassen-Elemente.
Große Lösungsformel
Große Lösungsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.

Restklassen
Restklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Restklassen modulo :

Restklassenring
Restklassenring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring bildet einen Körper, wenn prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).

Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der naive Versuch, eine Lösung auf zu finden, schlägt fehl: Der Wert der Diskriminante besagt, daß keine Lösung (in M ) existiert.

Nachdem wir aber auf dem Restklassenkörper operieren, kommen zwei Lösungsmöglichkeiten in Betracht:

  • wir verallgemeinern die gegebenen Werte aus auf , lösen das Problem in und spezialisieren das Ergebnis wieder auf .
  • wir lösen das Problem vollständig in , wobei wir aber für die Zwischenergebnisse immer wieder passende Restklassenwerte finden müssen.

Lösung auf Z:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf dem Restklassenring können wir die Diskriminante in den Bereich zwingen, indem wir andere Werte aus den jeweiligen Restklassen der Angabewerte (aus ) zur Lösung in verwenden.

Z.B. (Werte mit o.g. Java-Programm; gefunden):

:

Diskriminante Lösung existiert (in ); falls die Gleichung ganzzahlig aufgeht (was sie mit den gewählten Zahlenwerten auch tut), ist die Lösung auch in .

Lösung auf Z7:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Diskriminante ist negativ, aber in .

Also erweitern wir z.B. mit : .

Dann ist

,

.

Kontrolle der Ergebnisse auf Z7:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Fleißaufgabe):

Baccus 01:12, 14. Jan 2007 (CET)

(Danke Hapi, Navyseal)

Lösung von Hapi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da man mit mit Restklassen rechen kann, sollte man für b = 2 mod 7 wie folgt einsetzen: b = 9

Das ergibt dann nach der Formel (die Restklassen darf ich ja in 7-er Schritten erweitern!)

 =   = -2 bzw. -1.

Das Einsetzen der Werte ergibt folgende Gleichungen mit Restklassen:

*(-1)² + bzw *(-2)² +

denn -2*7 und -1*7 sind zulässige Erweiterungen bei Modulo 7.

Hapi


Urbanek hat noch eine andere Lösungsvarieante gebracht:

Ergebnis 1 :

Ergebnis 2 :

Er hat statt durch Restklasse 6 dividiert mit dem Inversen davon multipliziert, was zufälligerwiese wieder 6 ist. Außerdem hat er nach jedem Rechenschritt die jeweilige Restklasse mod 7 verwendet, z.b. statt 72 nur 2, etc.

Hapi

Lösung von zool[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das die Inverse Restklasse von -6 wieder 6 ist kann ich mir nicht vorstellen. Das inverse einer Restklasse wird wie folgt errechnet:

a*b+m*k=1

In diesen Fall ist b=-6 und m = 7, schaut dann so aus:

1*(-6)+7*1=1

daraus folgt die Inverse Restklasse von -6 ist 1! Bis dorthin passt die Rechnung aber.

Ergebnis 1 :

Ergebnis 2 :

Inverse Restklasse von -5:

3*(-5)+7*2=1 => 3

--Zool 13:57, 1. Feb. 2009 (UTC)

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wikipädia:

Ähnliche Beispiele: