TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 51

Man berechne alle Werte von ${\sqrt {8-6i}}=a+bi$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.

(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile.)

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Nützliches und Hilfreiches:

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$ax^{2}+bx+c=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

siehe auch Beispiel 72

Lösung von Zombie88

Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:

  8 - 6i = a² - b² + 2abi   Realteil:  8 = a² - b²  Imaginärteil:   -6i = 2abi oder -3 = ab

Diesen Wert kann ich in die Gleichung 8 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -9/a² + a² = 8

Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -9/x +x = 8 um, indem ich mit x multipliziere:

x² - 8x + - 9 = 0

Nun habe ich eine quadratische Gleichung: $x_{1,2}={\frac {8\pm {\sqrt {8*8-(-9)*4}}}{2}}=4\pm 5$

$x_{1}=9$

$x_{2}=-1$

$x_{2}$ kann man ignorieren, weil a und b nur reelle Werte annehmen dürfen. (Was aber bei $a^{2}=-1$ nicht möglich ist)

Also $a^{2}=9$ d.h. $a_{1}=3$ oder $a_{2}=-3$

Und $b_{1}=-3/3=-1$ oder $b_{2}=-3/-3=1$

Die zwei Lösungen:

$3-i$
$-3+i$

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Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie88.

Hapi