TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 47

Man zeige, dass jede ganze Zahl der Form $n^{4}+4^{n}$ (mit n > 1) keine Primzahl ist.

(Hinweis: Man unterscheide zwischen geradem und ungeradem n. Insbesondere betrachte man bei ungeradem n die Zerlegung $\left(n^{2}+2^{n}+n2^{(n+1)/2}\right)\left(n^{2}+2^{n}-n2^{(n+1)/2}\right)$.)

Lösungsvorschlag

n gerade

Man betrachte zuerst den Fall n sei gerade:

$n^{4}$ ist immer gerade solange n gerade ist $\left(n={\overline {0}}\Rightarrow n^{4}={\overline {0}}^{4}={\overline {0}}\right)$

und $4^{n}$ ist ebenfalls gerade ( unabhängig davon, ob n selbst gerade ist oder nicht ) $\left(4={\overline {0}}\Rightarrow 4^{n}={\overline {0}}^{n}={\overline {0}}\right)$

daraus folgt, dass zwei gerade Zahlen addiert werden, was wieder eine gerade Zahl zur Folge hat $\left({\overline {0}}+{\overline {0}}={\overline {0}}\right)$ und gerade Zahlen können keine Primzahlen sein (weil durch 2 teilbar)

n ungerade

hier ist es nicht ganz so einfach, weil immer eine gerade und ungerade Zahl addiert werden, was ein ungerades Ergebnis zur Folge hat. Und bei ungeraden Zahlen kann man nicht generell feststellen, ob es nun Primzahlen sind oder nicht.

Hier kommt uns nun die Zerlegung zur Hilfe:

Alleine die Tatsache, dass es eine Solche Zerlegung zeigt, dass man die Zahl z durch zwei Faktoren

$a=n^{2}+2^{n}+n2^{(n+1)/2}$
$b=n^{2}+2^{n}-n2^{(n+1)/2}$

darstellen kann $z=a\cdot b$.

Nun muss man nur noch zeigen, dass $a\neq 1$ und $b\neq 1$. (Primzahlen sind immer durch 1 und durch selbst teilbar, daher muss man 1 hier ausschliessen)

Für a ist leicht zu erkennen, dass es > 1 sein muss (3 Summanden, die jeweils selbst > 1 sind)

Für alle die bei b nicht auf Anhieb erkennen, dass das > 1 ist (für mich z.B.) kann man sich so helfen, dass man n = 2k+1 setzt. (wir betrachten hier nur die ungeraden Fälle)

dadurch ergibt sich:

$b=\left(2k+1\right)^{2}+2^{2k+1}-(2k+1)\cdot 2^{(2k+2)/2}=4k^{2}+4k+1+2\cdot 2^{2k}-(2k+1)\cdot 2^{k+1}$
$b=4k^{2}+4k+1+2\cdot 2^{2k}-2\cdot 2^{k}\cdot (2k+1)=4k^{2}+4k+1+2\cdot 2^{k}\left(2^{k}-2k-1\right)$

für k = 1 folgt b = 5 also > 1 und für alle weiteren k ist der Ausdruck in der Klammer immer positiv, wodurch b auch immer > 1 ist

$\Rightarrow$ man kann die Zahl z durch ein Produkt zweier Zahlen a und b darstellen, die beide ungleich 1 sind. Dadurch kann z keine Primzahl sein

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 14:49, 13. Sep. 2012 (CEST)

Bei geradem n kann man feststellen, dass die Summanden stets gerade Zahlen ergeben. In Folge dessen, ist die Summe auch gerade und dadurch kann keine Primzahl vorliegen.

Bei ungeradem n besteht nur dann die Möglichkeit eine Primzahl zu haben, wenn ein Faktor 1 ergibt, und der andere Faktor eine Primzahl ist. Der linke Faktor kann aufgrund der Prämise (n > 1) niemals 1 ergeben. Also muss bewiesen werden, dass der rechte Faktor 1 ergeben kann. Laut wolfram-alpha sind hierfür die Lösung für $n_{1}=0,n_{2}=1$, welche außerhalb des Definitionsbereichs liegen.