TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 141

Wie viele verschiedene Tipps müssen beim Lotto "6 aus 45" abgegeben werden, um sicher einen Sechser zu erzielen? Wie viele verschiedene Tipps sind nötig, um mit Sicherheit mindestens einmal in den Gewinnrängen (Dreier oder höher) zu sein. Bei wie vielen möglichen Tipps stimmt mindestens eine Zahl, bei wie vielen sind alle Zahlen falsch?

Lösungsvorschlag von Mathi

Sicher 6er:

${\begin{pmatrix}45\\6\end{pmatrix}}$ = 8 145 060 Tipps

Gewinnränge:

--> genau 6er: ${\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}39\\0\end{pmatrix}}$ = 1 * 1 = 1

--> genau 5er: ${\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}39\\1\end{pmatrix}}$ = 6 * 39 = 234

--> genau 4er: ${\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}39\\2\end{pmatrix}}$ = 15 * 741 = 11 115

--> genau 3er: ${\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}39\\3\end{pmatrix}}$ = 20 * 9139 = 182 780

Summe: 194 130 Tipps

Um mindestens einmal in den Gewinnrängen zu sein muss man nun von den gesamten Möglichkeiten (=Chance auf sicheren 6er) die Tipps der Gewinnränge abziehen. Nun erhält man alle Tipps mit denen man keinen Gewinn erreicht. Mit einem Tipp mehr ist man garantiert in den Gewinnrängen.

--> 8 145 060 - 194 130 + 1= 7 950 931 Tipps

Mindestens eine Zahl richtig:

--> Gewinnränge (siehe oben): 194 130

--> genau 2er: ${\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}39\\4\end{pmatrix}}$ = 15 * 82251 = 1 233 765

--> genau 1er: ${\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}39\\5\end{pmatrix}}$ = 6 * 575757 = 3 454 542

Summe: bei 4 882 437 Tipps ist mindestens eine Richtige

alle falsch: ${\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}39\\6\end{pmatrix}}$ = bei 3 262 623 Tipps

Erklärung: Es werden X Kugeln aus den 6 Richtigen und 6-X Kugeln aus den 39 Falschen gezogen.

--lg --Mathi 23:14, 24. Apr 2008 (CEST)

Lösungsvorschlag:

es gibt ${\begin{pmatrix}45\\6\end{pmatrix}}$ möglichkeiten 6 aus 45 zu ziehen. Somit muss mann genauso viele tipps abgeben um sicher einen secher zu haben, also 8145060

es gibt ${\begin{pmatrix}45\\3\end{pmatrix}}$ möglichkeiten 3 aus 45 zu ziehen. Somit muss mann genauso viele tipps abgeben um sicher mindestens einen 3er zu haben, also 14190

es sind 45 zahlen, wenn man auf allen seinen tipps keine zahlen doppelt verwendet ist bei 7 tipps sicher einer dabei bei dem eine zahl stimmt, da man 40 zahlen tippen muss um mindestens einen richtig zu haben (45 zahlen - 5 die man nicht haben muss = 40 / 6 (zahlen pro tip) = 6.66 ~ 7)

--mfg DeepB

Anmerkung mick:

Es steht in der Angabe Gewinnränge! d.h. 14190 bezieht sich aber auf alle möglichen Dreier!

Lösungsvorschlag von m4rS

ad alle falsch: ${\begin{pmatrix}39\\6\end{pmatrix}}$ Möglichkeiten, dass kein Tipp richtig ist. (Auswahl von 6 Elementen aus der Menge der nicht gezogenen Zahlen)

ad mindestens eine Zahl richtig falsch: ${\begin{pmatrix}45\\6\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}39\\6\end{pmatrix}}$ Möglichkeiten (Anzahl aller Möglichen Tipps - Anzahl das überhaupt keines stimmt)