TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 365

Man zeige: Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G (mit neutralem Element e) ist genau dann Untergruppe von G, wenn die Bedingungen

(i) $a,b\in U\Rightarrow ab\in U$ (ii) $e\in U$ (iii) $a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U$

für alle $a,b\in G$ erfüllt sind. Das ist weiters genau dann der Fall, wenn

(iv) $a,b\in U\Rightarrow ab^{-1}\in U$

für alle $a,b\in G$ gilt (Untergruppenkriterium).

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Lösung von Juggl3r

Das Beispiel ist gar nicht so schwer, wie es vielleicht auf den ersten Blick aussieht. In der Angabe steht "ist genau dann.." D.h. wir müssen jeweils immer beide Richtungen zeigen. Also, dass wenn U eine Untergruppe ist, müssen die Formeln gelten und wenn die Formeln gelten muss U auch eine Untergruppe sein.

Also überlegen wir uns einmal, was eine Untergruppe ausmacht:

• ) Sie muss abgeschlossen sein

• ) Sie muss Assoziativ sein

• ) Sie muss ein neutrales Element haben

• ) Jedes Element braucht ein inverses

Assoziativ muss U sowieso sein, den U ist eine Teilmenge von G und G ist Assoziativ (weil es eine Gruppe ist). Also ist U nur eine Einschränken, es ist klar, dass deshalb U assoziativ ist.

Und die anderen 3 Punkte sind eigentlich gleichbedeutend mit den Formeln. Es sind die gleichen Aussagen, nur halt sprachlich dargestellt und nicht mathematisch. Deshalb können wir auch folgendes Schreiben:

Abgeschlossen $\Leftrightarrow a,b\in U\Rightarrow ab\in U$

Das heißt ja nur, dass wenn $a$ und $b$ in $U$ sind, dann $ab$ auch in $U$ sein müssen, also das nach Anwendung der Operation auf 2 beliebige Werte dieser Menge das Ergebnis wieder in $U$ sein muss. Also es Abgeschlossen ist.

Neutrales Element existiert $\Leftrightarrow e\in U$

Wieder das gleiche. Einfach nur die Eigenschaft mathematisch ausgedrückt.

Inverses Element existiert $\Leftrightarrow a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U$

So, also haben wir schon einmal den ersten Punkt fertig. Jetzt noch das Untergruppenkriterium:

1. Richtung: Wir nehmen an, U ist eine Untergruppe. Wir müssen beweisen, dass die Formel gilt:

• ) Wenn U Untergruppe ist, nehmen wir mal an: $a,b\in U$

• ) Aufgrund der Formel (iii) die wir oben bewießen haben, muss auch gelten: $b^{-1}\in U$

• ) Und auf Grund der Formel (i) von oben muss daher auch das gelten: $a\cdot b^{-1}\in U$

Also wenn a und b in U sind, dann auch $a*b^{-1}\in U$, also gilt die Formel.

2. Richtung: Wir nehmen an, die Formel gilt. Jetzt müssen wir beweisen, dass U eine Untergruppe deshalb ist.

• ) $a,b\in U\Rightarrow ab^{-1}\in U$ gilt

• ) Wir zeigen zuerst (ii): In der angabe steht, dass U eine nichtleere Menge ist. D.h. es existiert ein x in U. Nun setzen wir oben in der Formel für a = x und b = x ein. Wir erhalten:

$x\in U\Rightarrow xx^{-1}\in U$

Weiters ist aber $xx^{-1}$ gleich e, also $e\in U$

Also haben wir (ii) bewiesen.

• ) Als nächstes beweisen wir (iii):

Wir wissen nun, dass wenn x in U ist, dann ist auch e in U. Jetzt setzen wir a = e und b = x:

$x,e\in U\Rightarrow ea^{-1}\in U$

Also ist auch a^-1 in U, also es existiert ein inverses Element.

• ) Und schließlich noch (i):

Wenn y und x in U sind, dann gilt wegen (iii), dass x^-1 in U ist. Nun setzen wir wieder in der obigen Formel ein a=y und b = x^-1.

$y,x\in U\Rightarrow y(x^{-1})^{-}1\in U$

also

$y,x\in U\Rightarrow yx\in U$

Fertig. Hoffe ich konnte helfen, gebe aber keine Gewähr, das alles stimmt!

Anmerkung mick:

add 2) Ich denke nicht, dass das stimmt. Ich kann nicht für a und b einfach x einsetzen. das wäre trivial?

dazu müßte gezeigt werden, dass a = b?

Anmerkung mario: add 2) Sollte stimmen, da du mit diesem Kriterium ja nur beweist, dass wenn du a * a^-1 = a^-1* a = e