TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 424

Man zeige, dass für eine beliebige Menge M die Algebra $\langle ({\mathfrak {P}}(M),\bigtriangleup ,\cap \rangle$ ein kommutativer Ring mit Einselement ist. Für welche M ist dieser Ring sogar ein Körper?

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Definition der symmetrischen Differenz

$A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

C heißt symmetrische Differenz der Mengen A und B,

$C=A\triangle B$,

wenn C alle Elemente aus A enthält, die nicht zu B gehören und alle Elemente aus B, die nicht zu A gehören, d.h.:

$A\triangle B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(A\cup B)\backslash (A\cap B)$

VENN-Diagramm:

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\rightarrow a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von mnemetz

Basierend auf f.thread:38144, etwas editiert und erweitert. --Mnemetz 03:33, 19. Dez 2005 (CET)

Für die symmetrische Differenz

Abgeschlossenheit

Wie schon aus den VENN-Diagrammen hervorgeht, ist eine Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität

$(A\triangle B)\triangle C=A\triangle (B\triangle C)$

Es liegt die Assoziativität vor!

Man könnte dies mit der Elementtafel nachweisen (Auszug):

$A$	$B$	$C$	\	$A\triangle B$	$(A\triangle B)\triangle C$	\	$B\triangle C$	$A\triangle (B\triangle C)$
$\in$	$\in$	$\in$	\	$\notin$	$\in$	\	$\notin$	$\in$
$\in$	$\in$	$\notin$	\	$\notin$	$\notin$	\	$\in$	$\notin$

neutrales Element (Einheitselement)

Das neutrale Element existiert', es ist die leere Menge $\varnothing$, denn $A\bigtriangleup \varnothing =\varnothing \bigtriangleup A=A\qquad \forall A\in {\mathfrak {P}}(M)$.

Inverses Element

Auch das inverse Element existiert, und zwar A' = A: jedes Element ist zu sich selbst invers.

Kommutativität

Auch eine Kommutativität liegt vor.

${\mathfrak {P}}(M):(A\bigtriangleup B)=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(B\backslash A)\cup (A\backslash B)=(A\cup B)\backslash (A\cap B))$ - die symmetrische Differenz ist daher kommutativ

Schlussfolgerung

Es liegt ein Abelsche Gruppe vor mit Nullelement $\emptyset$.

Für den Durchschnitt

Abgeschlossenheit

Falls $A,B\in {\mathfrak {P}}(M)\Rightarrow A\cap B\in {\mathfrak {P}}(M)$: erfüllt

Assoziativität

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\forall A,B\in {\mathfrak {P}}(M)$: erfüllt

neutrales Element (Einheitselement)

$\exists A\cap e=e\cap A=A\qquad \forall A\in {\mathfrak {P}}(M)$: erfüllt für e = M -> Einselement

Inverses Element

$\exists A\cap A'=A'\cap A=e\qquad \forall A,A'\in {\mathfrak {P}}(M)$

Existiert i.A. nicht, da $A\cap B\subseteq A$ für alle $A,B\in {\mathfrak {P}}(M)$, d,h, für $A\subsetneq M$ ist auch $A\cap B\subsetneq M$ --- also ist $A\cap B\neq M$ für alle $A,B\in {\mathfrak {P}}(M),A\neq M$

Für $A=M$ ist allerdings $M\cap M=M$, d.h. M hat ein Inverses.

Kommutativität

$A\cap B=B\cap A\qquad \forall A,B\in {\mathfrak {P}}(M)$: erfüllt

Schlussfolgerung

$\langle ({\mathfrak {P}}(M),\cap \rangle$ ist ein kommutatives Monoid mit Einselement $M$.

Distributivgesetze müssen gelten

1. $a*(b+c)=a*b+a*c$
2. $(a+b)*c=a*c+b*c$

Am besten überprüft man das Gesetz, indem man die Mengen aufzeichnet, die Schnittmengen markiert und miteinander vergleicht. Analog dazu überprüft man auch das 2. Gesetz -> erfüllt.

Um ganz sicher zu gehen, sollte man sich die Elementtafel (s.o.) aufzeichnen. Man braucht auch nur eines der beiden Gesetze nachzuweisen, da $\langle {\mathfrak {P}}(M),\cap \rangle$ abelsch ist.

Bei der algebraischen Struktur $\langle {\mathfrak {P}}(M),\bigtriangleup ,\cap \rangle$ handelt es sich um einen kommutativen Ring mit Einselement.

Körperaxiome

Das ist genau dann ein Körper, wenn $|M|=1$

Beweis:

Sei $M=\{a\}$, dann ist ${\mathfrak {P}}(M)=\{\emptyset ,\{a\}\}$. Es genügt zu zeigen, dass $\langle {\mathfrak {P}}(M)\backslash \{\emptyset \},\cap \rangle$ abelsche Gruppe ist. Es ist $\{a\}\cap \{a\}=\{a\}\in \{\{a\}\}$. Damit ist das bereits eine abelsche Gruppe.

Sei umgekehrt $\langle {\mathfrak {P}}(M)\backslash \{\emptyset \},\cap \rangle$ abelsche Gruppe, dann existiert zu jedem $A\in {\mathfrak {P}}(M)\backslash \{\emptyset \}$ ein Inverses in ${\mathfrak {P}}(M)\backslash \{\emptyset \}$, was nach 4.2.4 bedeutet, dass ${\mathfrak {P}}(M)\backslash \{\emptyset \}=\{M\}$, d.h. $|M|=1$.

(Für $|M|=0$ ist ${\mathfrak {P}}(M)\backslash \{\emptyset \}=\emptyset$, d.h. kein Gruppoid.)