TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 119

Man skizziere den Verlauf der Funktion $f:\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} ,f(x)=\sin {\frac {1}{x}}$ und beweise, dass $f(x)$ an der Stelle $x_{0}=0$ keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen $x_{n}={\frac {1}{n\pi }}$ und $x_{n}={\frac {1}{2n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}$ betrachtet.

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösungsvorschlag von Manül

Nullfolge checken:

$\lim _{n\to \infty }(x_{n})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n\pi }}=0$

$\lim _{n\to \infty }(x_{n})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}=0$

Einsetzen:

$\lim _{n\to \infty }\sin {\frac {1}{x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\sin(n\pi )=0$, denn $\sin(n\pi )=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$

$\lim _{n\to \infty }\sin {\frac {1}{x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\sin(2n\pi +{\frac {\pi }{2}})=1$, denn $\sin(2n\pi +{\frac {\pi }{2}})=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$

$0\neq 1\Rightarrow \lim _{x\to 0}f(x)$ existiert nicht.