TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 336

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Gegeben seien die folgenden binären Operationen auf der Menge . Man untersuche die Operationen in Hinblick auf Assoziativität, Kommutativität sowie auf Existenz von neutralen oder inversen Elementen.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

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}}

Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien die folgenden zweistelligen partiellen Operationen in der Menge M. Man untersuche, in welchem Fall eine Operation in der Menge M vorliegt. Welche Operationen sind assoziativ, welche kommutativ?

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

, gewöhnliche Addition bzw. Multiplikation)

Addition: abgeschlossen, kommutativ, assoziativ

Multiplikation: 0*0 = 0, 0*1 = 0, 1*1 = 1 - abgeschlossen, kommutativ, assoziativ

Was ist mit (1 gemeint? Ich würde auch sagen dass hier keine algebraische Struktur vorliegt, da die Addition NICHT abgeschlossen ist. ZB. 1+1=2, nicht enthalten.

In der Übung hat Prof. Panholzer gemeint, dass bei die letzte 1 zuviel ist, also abgeschlossen

BEI MEINER ANGABE STEHT M={-1,0,1} UND NICHT WIE HIER M={1,0,1}! Trotzdem muss man 1 + 1 = 2 --> also nicht in M enthalten. Also nicht abgeschlossen bzgl. der Addition. Oder? ---

[Lösungsvorschlag von wimron][Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Operationstafel (auch Cayley-Tafel genannt; * steht für Multiplikation)

* -1 0 1
-1 1 0 -1
0 0 0 0
1 -1 0 1

Abgeschlossen? Ja, da jede Multiplikation zweier Elemente aus A wieder ein Element aus A ergibt.

Assoziativ? (-1 * 0) * 1 = 0

-1 * (0 * 1) = 0

(begründet durch die Assoziativität der Multiplikation auf Z) Also ja, assoziativ.

Kommutativ? Bsp: -1 * 0 = 0

0 * -1 = 0

(Begründet durch die Kommutativität der Multiplikation auf Z) Also ja, kommutativ.

Existenz eines neutralen Elements? a * e = e * a = 0 (Anmerkung: a * e = e * a = a)

Neutrales Element ist 1, da:

-1 * 1 = -1

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1

Inverses Element? Nein. Da a * a^-1 = a^-1 * a = e

Einsetzen:

-1 * (-1)^1 = 1

-1 * 1 = 1 (stimmt nicht, daher kein Inverses)

(b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossen ja, kommutativ ja

nicht assoziativ!

Anmerkung von mick:

Ist das nicht falsch? Gehört nicht: a ring b =

Anmerkung zur Anmerkung
von Vodi
Ich glaube, mick's Folgerung ist Falsch, da . Siehe Potenzgesetze, 4. Reihe.

Ich glaube, dass hier etwas falsch verstanden wurde es handelt sich hier um daraus folgt, dass hier sehr wohl die assoziativität gilt weil

lasse mich aber auch eines besseren belehren

Edit vom 2.07.14: Ich denke mittels Substitution kann man sich gut veranschaulichen in welcher Reihenfolge die Operationen ausgeführt werden. Da in der Angabe nicht steht wie zustande kommt würde ich stur mach der Regel arbeiten.\\

(c)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

abgeschlossen ja, kommutativ ja

Assoziativ:

Nicht gleich, daher nicht assoziativ!

Es gibt ein neutrales Element für alle Elemente von Q außer 0

Ebenso gibt es ein Inverses

(d)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

abgeschlossen ja, kommutativ ja

Assoziativ:

Setze a =4, b = -3, c = -5

Nicht gleich, daher nicht assoziativ!

(e)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

abgeschlossen ja, kommutativ nein, denn , aber

Assoziativ:

(Ich glaube hier wurde etwas falsch gerechnet, weil Meine Lösung wäre:)