TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 50

Man untersuche die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} },\langle c_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ finde.

$a_{n}={\frac {n^{2}+1}{n^{3}+1}}+{\frac {n^{2}+2}{n^{3}+2}}+...+{\frac {n^{2}+n}{n^{3}+n}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

Sandwich-Theorem

Buch: Satz 4.22 (Seite 146) Im Grunde steht da nur das von der Angabe. Vielleicht findet man Hinweise zur Anwendung wenn man's googelt (auch Einschließungssatz, Einschnürungssatz, oder engl. Squeeze-Theorem)

Anwendung

Bringen wir das mal in eine Summenformel:

$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n^{2}+k}{n^{3}+k}}=$

Damit sollte die Folge der Angabe rauskommen.

Wir überlegen uns jetzt 2 Folgen, die zu unserer zwar unterschiedlich sind aber gegen den selben Grenzwert streben. Eine Folge die kleiner ist ($\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$), eine die größer ist ($\langle c_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$). Wenn die beiden gegen den selben Grenzwert streben und unsere genau dazwischen liegen soll, haben wir den Grenzwert bewiesen.

Uns stört vor allem, dass das n innerhalb der Summenformel vorkommt. Wir wollen eine offensichtlich kleinere (und eine zweite, größere Folge) bei der n nämlich unendlich ist. Also versuchen wir eine kleinere/größere Formel zu finden bei der man das n weglassen/herausheben kann.

Wir wissen laut Buch 4.38 dass

$a_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1$

Bemerkung: Das sollte glaub ich sein: $a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1$

Wäre schön wenn wir das mit einer deutlich kleineren als unserer Folge auch machen könnte. Und k ist immer kleiner n. Also formen wir um:

$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n^{2}+k}{n^{3}+k}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k^{2}+1}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k*(k+1)}}=1=b_{n}$

Anm.

Kann wohl nicht stimmen, hier sollte b_n <= a_n sein, und nicht umgekehrt!

---

Und für was größeres:

$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n^{2}+k}{n^{3}+k}}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}=1=c_{n}$

Wir sehen, beide Folgen haben den Grenzwert 1 also hat $a_{n}$ ebenfalls den Grenzwert 1!

Und noch ein paar Werte, die es bestätigen:

a_1 = 2,00000

a_2 = 1,79192

a_3 = 1,55581

a_4 = 1,41631

a_5 = 1,32991

a_6 = 1,27225

a_7 = 1,23136

a_8 = 1,20097

a_9 = 1,17754

a_10 = 1,15895

.

.

.

a_1000 = 1,00150

---

Meine Berechnung dazu:

a_1 = 1

a_2 = 1,16

a_3 = 1,14

a_4 = 1,11

...

Aber auch $a_{n}\leq b_{n}$ mit $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n^{2}+k}{n^{3}+k}};b_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k*(k+1)}}$ stimmt nicht, da z.B.:

a_1 = 1

a_2 = 1,16

a_3 = 1,14

und

b_1 = 1/2

b_2 = 4/6

b_3 = 9/12

--78.104.123.6 19:42, 26. Dez. 2011 (CET)

Forum-Posts zu Sandwich-Theorem

https://web.archive.org/web/20180817161535/https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php%3ftopic=66446

https://web.archive.org/web/20180817161538/https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php%3ftopic=92762

https://web.archive.org/web/20180817161544/https://www.matheraum.de/read?t=332410

Bemerkung !!!

1/n --> 0 nicht --> 1 !

Anmerkung

Wenn mich nicht alles täuscht, hast du als cn die harmonische Reihe genommen und die ist doch divergent. Sie konvertiert also mitnichten gegen 1. --Neverlasting

@Neverlasting: Nein, es ist nicht die harmonische Reihe. Da 'n' hier NICHT unsere Laufvariable (sondern 'k') ist. Unsere 'Folge' sieht wie folgt aus:
z.B. für n=3: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1