TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 333

Man untersuche, ob die Funktionen $f(x)=x^{2}$ mod 10 bzw. $g(x)=x^{3}$ mod 10 auf der Menge {0,1,...,9} bijektiv sind, d.h. Permutationen festlegen!

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

$x$	$x^{2}$	$x^{2}$ mod 10 ($=f(x)$)
0	0	0
1	1	1
2	4	4
3	9	9
4	16	6
5	25	5
6	36	6
7	49	9
8	64	4
9	81	1

Man sieht, daß in der letzten Spalte Werte mehrfach vorkommen (d.h. $f$ ist nicht injektiv), es kann also keine eindeutige Umkehrabbildung $f^{-1}$ existieren $\rightarrow$$f$ ist nicht bijektiv.

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$x$	$x^{3}$	$x^{3}$ mod 10 ($=g(x)$)
0	0	0
1	1	1
2	8	8
3	27	7
4	64	4
5	125	5
6	216	6
7	343	3
8	512	2
9	729	9

Die Abbildung sieht recht bijektiv aus ;). Die resultierende Permutation ist:

$\pi _{g}=\left({\begin{array}{cccccccccc}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\0&1&8&7&4&5&6&3&2&9\end{array}}\right)=(28)(37)$.

--Baccus 05:27, 26. Nov 2006 (CET)

Vielen Dank an Axestr!

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Siehe auch: Beispiel 117