TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 184

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):
$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}k{\binom {n}{k}}$

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{{Beispiel|1=
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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz

Für $n\geq 0$ und beliebige $x,y\in \mathbb {C}$ : $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=(x+y)^{n}$

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}k{\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {kn!}{k!(n-k)!}}$

// k kürzen $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}$

// n herausheben (das darf man ja, weil nur k variabel ist)

$n\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}$

${\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}$ das ist nichts anderes als ${\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}$ , weil ${\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}}$

// das heisst, unsere formel schaut jetzt so aus:

$n\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}$

// da bei k = 0, der summand 0 ist, können wir den index bei 1 beginnen lassen, sonst // ist ja n über k nicht definiert (für k-1 = -1, bei k=0)

$n\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}$

// dann setzen wir den index wieder auf 0 und lassen halt nur mehr bis n-1 laufen, k müssen wir halt überall um 1 erhöhen

$n\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}{\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}}$

// dann stört uns eigentlich nur noch das $(-1)^{k+1}$ , also heben wir einfach noch -1 heraus und // das ding schaut aus wie ein binom, da der zweite teil des binoms nur mehr 1 sein kann, lautet unsere formel

$-1*n\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(1)^{n-1-k}{\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}}$

// so, der binomische lehrsatz lautet ja

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{k}y^{n-k}$

also

$-1*n(x+y)^{n-1}=-1*n\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(1)^{n-1-k}{\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}}$

sprich

x=-1 y=1

x+y = 0

0^irgendwas ist 0, dass ganze ding ist 0

wow, des is echt genial

EDIT: x und y waren verkehrt herum und es ist x+y nicht x-y

--Tjom 16:37, 21. Mai 2007 (CEST)

Kommentar von m4rS[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

geht einfacher, wenn man so vorgeht wie in 151), außerdem ist irgendwo ein kleiner Fehler drinnen, weil wenn man 1 einsetzt, kommt -1 und nicht 0 raus

Kommentar von vHi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(12.12.2011)

Bei diesem Beispiel wird die Lösung ohne Benützung der Differentialrechnung verlangt, also ist der Lösungsweg wie in 151 hier nicht anwendbar (und in 151 eigentlich auch nicht). Die Lösung oben stimmt!

Bemerkung: Bei n=1 ergibt sich 0^0 = 1! Sonst passt alles.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]