TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 197

Wieviele natürliche Zahlen n mit $1\leq n\leq 10^{8}$ gibt es, die weder dritte, noch vierte, fünfte oder sechste Potenz einer natürlichen Zahl sind?

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Lösungsvorschlag von mnemetz

$|M\backslash (A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6})|=$

$|M|-|A_{3}|-|A_{4}|-|A_{5}|+|A_{3}\cap A_{4}|+|A_{3}\cap A_{5}|+|A_{4}\cap A_{5}|-|A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5}|$

Wir verwenden keine 6. Potenz, da diese ein Vielfaches der dritten ist. Dabei stellen die Durchschnitte zweier Potenzen das Produkt dieser beiden dar-

$10^{8}-{\sqrt[{3}]{10^{8}}}-{\sqrt[{4}]{10^{8}}}-{\sqrt[{5}]{10^{8}}}+{\sqrt[{12}]{10^{8}}}+{\sqrt[{15}]{10^{8}}}+{\sqrt[{20}]{10^{8}}}-{\sqrt[{60}]{10^{8}}}=10^{8}-464-100-39+4+3+2-1=99999405$