TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 299

Man bestimme im Graphen $G_{10}$ mit Hilfe von $A_{G_{10}}^{3}$ die Anzahl der Dreiecke (d.h. die Anzahl der Kreise der Länge 3).

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Lösungsvorschlag

$A_{G_{10}}^{3}$ ist die Adjazenzmatrix von $G_{10}$ zur dritten Potenz.

Lemma:

Sei $G$ ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix $A$. Dann ist der $(i,j)$.Eintrag von $A^{x}$ gleich der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge mit Startknoten i und Endknoten j,welche aus x Kanten bestehen.

Adjazenzmatrix $A_{G_{10}}={\begin{array}{cc}&{\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\end{array}}\\{\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\\5\end{array}}&\left({\begin{array}{ccccc}0&1&0&1&1\\1&0&1&0&1\\0&1&0&1&1\\1&0&1&0&1\\1&1&1&1&0\end{array}}\right)\end{array}}$

Potenzieren von Matrizen:

Quadratische Matrizen können potenziert werden; $A^{3}=A\cdot A\cdot A$

(siehe auch Wikipädia)

Multiplizieren von Matrizen:

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$

(siehe auch Wikipädia)

Kubizierte Adjazenzmatrix: $A_{G_{10}}^{3}={\begin{array}{cc}&{\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\end{array}}\\{\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\\5\end{array}}&\left({\begin{array}{ccccc}4&8&4&8&8\\8&4&8&4&8\\4&8&4&8&8\\8&4&8&4&8\\8&8&8&8&8\end{array}}\right)\end{array}}$

Wir suchen nach Kreisen im Graphen, d.h. Kantenzüge mit gleichem Start- und Endknoten; das sind genau diejenigen, die die Hauptdiagonale der Adjazenzmatrix bilden.

Man kommt also auf 4 + 4 + 4 + 4 + 8 = 24 Kreise (der Länge 3).

Hier bilden aber etliche Kreise dasselbe Dreieck ab: (abc)=(acb)=(bac)=(bca)=(cab)=(cba), sprich alle Permutationen der drei jeweils beteiligten Knoten.

Um auf die Anzahl der Dreiecke zu kommen, sollte man also die Anzahl der Kreise durch die Anzahl der mögl. Permutationen dividieren:

${\frac {4+4+4+4+8}{3!}}=4$ Dreiecke.

--Baccus 04:14, 7. Dez 2006 (CET)

Links

• f.thread:49410
• http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)#Potenzieren_von_Matrizen
• http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)#Matrizenmultiplikation