TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 344

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:

$M=\{z\in ℂ\mid |z|=2\},z_1\circ z_2=\frac{z_1{z}_2}{2}$

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Lösung

Abgeschlossenheit

$|z_1\circ z_2|=|\frac{z_1{z}_2}{2}|=(|z_1|\cdot |z_2|)/2=(2\cdot 2)/2=2$ hakerl

Assoziativität

$(z_1\circ z_2)\circ z_3=(\frac{z_1{z}_2}{2})\circ z_3=((\frac{z_1{z}_2}{2})\cdot z_3)/2=(z_1{z}_2{z}_3)/4=z_1\circ (z_2\circ z_3)$ hakerl

Existenz eines neutralen Elements

Allgemein: $a\cdot e=e\cdot a=a$

$2\circ z=z\circ 2=(2z)/2=z$ hakerl

//Anmerkung: z kann doch sowohl -2 als auch 2 annehmen. Daher gäbe es soweit ich das verstehe kein neutrales Element.

//Anmerkung zur Anmerkung: Es ist doch egal ob z = -2 ist, wenn ich als neutrales Element 2 verwende kommt bei der Verknüpfung wieder z, also -2 heraus. Also es gibt ein neutrales Element und zwar 2 und nur 2. Klar wird das wenn man sich den Bruch anschaut, 2/2 kürzt sich weg und es bleibt z übrig.

Existenz eines inversen Elements

zu jedem $a+bi$ gibt es ein $a-bi$

$z\circ \overline{z}=(z\cdot \overline{z})/2=(|z{|}^2)/2=4/2=2=e$ hakerl

($\overline{z}$ bezeichnet die konjugiert komplexe Zahl)

Also ist unsere Menge M mit Operation o eine Gruppe!

Informatik-Forum SS07 Beispiel 228