TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 21

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche $n\geq 0$ folgende Ungleichung gilt:

$(n+1)3^{n}\leq 4^{n}$

(ist auch Induktionsvoraussetzung, d.h. wir gehen davon aus, dass dies eine wahre Aussage ist)

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Durch herumprobieren kommt man darauf, dass diese Ungleichung ab 8 gilt. Falls jemand weiß, wie man sie löst, kann er bitte die Lösung reinschreiben.

1.für welche n>=0 gilt die Ungleichung

Einsetzten der Zahlen und schauen ob und ab wann die Aussage wahr ist:

• $n=0:(0+1)*3^{0}\leq 4^{0},1\leq 1\Rightarrow$ Wahre Aussage
• $n=1:(1+1)*3^{1}\leq 4^{1},2*3\leq 4,6\leq 4\Rightarrow$ Falsche Aussage
• $n=2:(2+1)*3^{2}\leq 4^{2},3^{3}\leq 16,27\leq 16\Rightarrow$ Falsche Aussage
• $n=5:(5+1)*3^{5}\leq 4^{5},6*243\leq 1024,1358\leq 1024\Rightarrow$ Falsche Aussage
• $n=7:(7+1)*3^{7}\leq 4^{7},8*2187\leq 16184,27\leq 16\Rightarrow$ Falsche Aussage
• $n=8:(8+1)*3^{8}\leq 4^{8},9*6551\leq 64736,58959\leq 64736\Rightarrow$ Wahre Aussage

Ab 8 ist die Aussage wahr, wird auch für alle folgendne Zahlen so bleiben, da $4^{n}$ schneller wächst als $n3^{n}\Rightarrow$ ab 8 gilt die Ungleichung

2. der Beweis mit vollständiger Induktion

Durch das Induktionsprinzip erhalten wir die Ungleichung:
$(n+2).3^{n+1}\leq 4^{n+1}$

$(n+2).3^{n+1}\leq 4^{n}*4$

${\frac {(n+2).3^{n+1}}{4}}\leq 4^{n}$

Durch diverse Umformungen erhalten wir obige Ungleichung, wo wir auf der rechten Seite wieder eine Ausdruck haben ($4^{n}$), der in der ursprünglichen wahren Aussage vorhanden ist; das Prinzip der vollständigen Induktion wäre jetzt, die ursprüngliche Aussage einfließen zu lassen, bis wir wieder auf eine wahre Aussage kommen.

${\frac {(n+2).3.3^{n}}{4}}\leq 4^{n}$

${\frac {3}{4}}.(n+2).3^{n}\leq 4^{n}$

Weiters wissen wir die Induktionsvorraussetzung: $(n+1).3^{n}\leq 4^{n}$

Daraus folgt die Abschätzung: ${\frac {3}{4}}.(n+2).3^{n}\leq (n+1).3^{n}\leq 4^{n}$

${\frac {3}{4}}.(n+2).3^{n}\leq (n+1).3^{n}$

${\frac {3}{4}}.(n+2)\leq n+1$

${\frac {3}{4}}.n+{\frac {3}{2}}\leq n+1$

$0\leq {\frac {1}{4}}.n-{\frac {1}{2}}$

Also gilt die Behauptung für Alle n größer gleich 2! Da die Vorraussetzung erst ab n=8 gilt, stimmt die Aussage für alle n>=8

Hoffe die Weiterführung ist korrekt Mit freundlichen Grüßen Martin

Vorschlag zum Rausfinden des Induktionsanfangs:

Man kann die linke und die rechte Seite der Ungleichung als zwei Funktionen darstellen.
Dort wo sich die beiden Funktionen schneiden ergibt sich der Induktionsanfang.

- wie gesagt ist nur ein Vorschlag - Mit freundlichen Grüßen Morten

-blauerApfel: (gleich wie oben nur ohne brüche)

${\frac {(n+2)\ast 3\ast 3^{n}}{4}}\leq 4^{n}$

${\frac {(3n+6)\ast 3^{n}}{4}}\leq 4^{n}$

Weiters wissen wir die Induktionsvorraussetzung: $(n+1)\ast 3^{n}\leq 4^{n}$

Daraus folgt die Abschätzung: ${\frac {(3n+6)\ast 3^{n}}{4}}\leq (n+1)\ast 3^{n}\leq 4^{n}$

${\frac {(3n+6)\ast 3^{n}}{4}}\leq (n+1)\ast 3^{n}$

$(3n+6)\ast 3^{n}\leq 4\ast ((n+1)\ast 3^{n})$

Anmerkung (Zeile oben): die äußeren Klammern rechts sind überflüssig. Siehe nächste Anmerkung.

$(3n+6)\ast 3^{n}\leq (4n+4)\ast 4\ast 3^{n}$

Anmerkung: hier ist glaube ich ein Fehler unterlaufen. die 4 wurde hineinmultipliziert, steht aber noch immer da.

$(3n+6)\ast 3^{n}\leq (16n+16)\ast 3^{n}$

$(3n+6)\leq (16n+16)$

$0\leq (13n+10)$

q.e.d

Anmerkung: ich habe nach korrigiertem Fehler als Erbenis erhalten, dass die Ungleichung für alle n >= 2 gilt