TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 371

Man bestimme die Untergruppen einer zyklischen Gruppe der Ordnung 6, d.h. von $G=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5}\}$

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Theoretische Grundlagen

Untergruppen

• Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe.
• Eine Untergruppe ist selbst eine Gruppe (d.h. assoziativ, neutrales Element, zu jedem Element gibt es ein inverses).

Diese zwei Kritierien sagen zwar, dass es sich um eine Untergruppe handelt, allerdings dürfen wir nicht vergessen, dass wir auch auf Abgeschlossenheit prüfen (d. h. ob $a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U$ vorliegt), sonst handelt es sich nämlich nicht einmal um eine algebraische Struktur. Das Assoziativgesetz muss nicht überprüft werden, da es in ganz $G$ gilt.

Zyklische Gruppen

In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element $a$ erzeugt wird. Sie besteht nur aus Potenzen des Erzeugers $a$:

$\left\langle a\right\rangle :=\lbrace a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \rbrace .$

Eine Gruppe $G$ ist also zyklisch, wenn sie ein Element $a$ enthält (den „Erzeuger“ der Gruppe), sodass jedes Element von $G$ eine Potenz von $a$ ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element $a$ gibt, sodass $G$ selbst die einzige Untergruppe von $G$ ist, die $a$ enthält.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe

Kleiner Fermat'scher Satz

Für jedes Element $a\in G$ einer endlichen Gruppe $(G,\circ )$ gilt $a^{|G|}=e$.

Auf dieses Beispiel angewendet heißt das: $a^{6}=e$

Lösungsvorschlag von Flumm (mit Erklärungen von Superwayne)

Zuerst müssen wir uns überlegen, wie man Untergruppen findet. Bei Untergruppen gibt es jedenfalls immer zwei so genannte triviale Untergruppen: $\{e\}$ und die Gruppe selbst.

Das heißt wir haben schon zwei Untergruppen gefunden:

• $U_{1}=\{e\}$
• $U_{2}=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5}\}$

Für die restlichen Untergruppen schauen wir uns an, wann überhaupt eine Gruppe gegeben ist. Wie schon oben erwähnt, muss es ein neutrales Element und inverse Elemente geben. Das heißt, wir versuchen so viel wie mögliche Untergruppen zu bilden, die diese drei Eigenschaften erfüllen.

Die Assoziativität einer Untergruppe ist immer gegeben, da es für die ganze Gruppe gilt (also auch für Untergruppen) und muss deshalb nicht extra geprüft werden. Nachdem die Untergruppe ein neutrales Element benötigt, müssen alle unsere zu findenden Untergruppen auch immer das Element $e$ aufweisen. Außerdem muss es ein inverses Element geben. Hier ist wichtig zu wissen, dass man zyklische Gruppen wie Restklassen auffassen kann. Das heißt, dass in diesem Beispiel $a^{6}=e$ gilt.

Mit diesem Wissen versuchen wir weitere Untergruppen zu finden.

Ein erster Versuch wäre die Untergruppe $\{e,a\}$, die ein neutrales Element aufweist. Allerdings ist $e\circ a=a$ und $a\circ a=a^{2}$. Es fehlt also ein inverses Element für $a$, womit es sich um keine Untergruppe handelt. Das gleiche gilt analog für $\{e,a^{2}\}$, auch hier ist kein inverses Element enthalten.

$\{e,a^{3}\}$ ist allerdings schon eine Untergruppe, da $a^{3}\circ a^{3}=a^{6}=e$ ist. $a^{3}$ ist also auch das inverse Element von sich selbst. Womit wir eine dritte Untergruppe gefunden hätten: $U_{3}=\{e,a^{3}\}$.

$\{e,a^{4}\}$ und $\{e,a^{5}\}$ sind wieder keine Untergruppen, da kein inverses Element enthalten ist.

Als nächstes versuchen wir mit drei Elementen Untergruppen zu bilden. Statt alle möglichen Kombinationen auszuprobieren, kann man sich überlegen, dass die Exponenten von zwei Elementen addiert die Ordnung (= Anzahl der Elemente, also $6$) ergeben müssen. Nur dann können wir ein inverses Element bilden. Außerdem dürfen wir nicht auf die Abgeschlossenheit vergessen.

Mit dieser Taktik erkennen wir schnell, dass $U_{4}=\{e,a^{2},a^{4}\}$ eine weitere Untergruppe ist, da $a^{2}\circ a^{4}=a^{6}=e$ und $a^{2}\circ a^{2}=a^{4}$ bzw. $a^{4}\circ a^{4}=a^{8}=a^{6}\circ a^{2}=e\circ a^{2}=a^{2}$ gilt, also auch Abgeschlossenheit vorliegt.

Somit haben wir alle Untergruppen bestimmt.

Manch einer fragt sich jetzt vielleicht, wieso $\{e,a,a^{5}\}$ keine Untergruppe ist, schließlich ist $a^{5}$ das inverse Element von $a$. Der Grund ist, dass keine Abgeschlossenheit vorliegt: $a\circ a=a^{2}$ bzw. $a^{5}\circ a^{5}=a^{10}=a^{6}\circ a^{4}=e\circ a^{4}=a^{4}$ und weder $a^{2}$ noch $a^{4}$ sind Elemente. Hier sieht man, wie wichtig auch die Prüfung auf Abgeschlossenheit ist.

Hilfsmittel von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese wichtige Voraussetzung zu prüfen wird oft bei algebraischen Strukturen übersehen)

$a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißen kurz Gruppenelemente.

Abelsche bzw. kommutative Gruppe

Eine Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

1. Kommutativität
   • $\forall \,\,a,b\,\in G$ gilt$\colon \;a\circ b=b\circ a$.

Ordnung und Mächtigkeit einer Gruppe

Sei $\left\langle G,\circ \right\rangle$ eine Gruppe. Die Mächtigkeit $|G|$ wird auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe $G=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}$ ist die Ordnung die Anzahl $n$ der Gruppenelemente.

Zyklische Gruppen

Eine zyklische Gruppe $\left\langle C,\circ \right\rangle$ ist eine Gruppe, die von einem einzelnen Element $a$ erzeugt wird. Sie besteht nur aus den Potenzen des erzeugenden Elementes $a$

$\left\langle a\right\rangle :=\{\;a^{n}\,|\,n\in \mathbb {Z} \;\}$

Eine Gruppe $\left\langle C,\circ \right\rangle$ ist also zyklisch, wenn sie ein Element $a$ enthält, sodass jedes Element von einer Potenz von diesem Element $a$ erzeugt wird. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element $a$ gibt, sodass $C$ selbst die einzige Untergruppe von $C$ ($C\leqslant C$) ist, die das Element $a$ enthält. In diesem Fall wird $a$ als ein erzeugendes Element oder kurz ein Erzeuger von $C$ genannt. Im endlichen Fall schreibt man $\left\langle C_{n},\circ \right\rangle$.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe

Untergruppen

Eine Untergruppe $(U,\circ )$ einer Gruppe $(G,\circ )$ ist eine Teilmenge $U$ von $G$, die bezüglich der Verknüpfung $\circ$ selbst wieder eine Gruppe bildet. Manchmal wird die Kurzschreibweise $U\leq G$ verwendet, zu lesen als $U$ ist Untergruppe von $G$.

Die trivialen Untergruppen

• Von einer Gruppe $G$ sind stets $G$ selbst sowie die einelementige Gruppe mit dem neutralen Element $\{e\}$ Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von $G$ genannt. Im Fall $G=\{e\}$ sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen $G\neq \{e\}$ haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
• Eine von $G$ verschiedene Untergruppe $U$ wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise $U<G$.

Satz von Lagrange: Kriterium für die Existenz einer Untergruppe

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe $U$ einer endlichen Gruppe $G_{n}$ die Ordnung der Gruppe $G$ teilt. Ist beispielsweise $|G|$ eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe $U$ nur $1$ oder $|G|$ betragen. Also sind in diesem Fall die trivialen Untergruppe die einzige Untergruppe von $G$.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe

Der kleine fermatsche Satz

Für jedes Element $a\in C_{n}$ einer endlichen Gruppe $\left\langle C_{n},\circ \right\rangle$ gilt$\colon \;a^{|C|}=a^{n}=a^{0}=e$.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiner_fermatscher_Satz

Lösung von Har203

Abgeschlossenheit

Die Operationstafel (Cayley-Tabelle) der Gruppe $\left\langle C_{6},\cdot \right\rangle$ füllen wir mit den einzelnen Potenzen von $a$ auf. Durch die Gruppenaxiome ist diese Tabelle eindeutig:

${\begin{array}{c|cccccc}\mathbf {\cdot } &\mathbf {e} &\mathbf {a} &\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a^{3}} &\mathbf {a^{4}} &\mathbf {a^{5}} \\\hline \mathbf {e} &\color {green}e&\color {green}a&\color {green}a^{2}&\color {green}a^{3}&\color {green}a^{4}&\color {green}a^{5}\\\mathbf {a} &\color {green}a&\color {green}a^{2}&\color {green}a^{3}&\color {green}a^{4}&\color {green}a^{5}&\color {green}e\\\mathbf {a^{2}} &\color {green}a^{2}&\color {green}a^{3}&\color {green}a^{4}&\color {green}a^{5}&\color {green}e&\color {green}a\\\mathbf {a^{3}} &\color {green}a^{3}&\color {green}a^{4}&\color {green}a^{5}&\color {green}e&\color {green}a&\color {green}a^{2}\\\mathbf {a^{4}} &\color {green}a^{4}&\color {green}a^{5}&\color {green}e&\color {green}a&\color {green}a^{2}&\color {green}a^{3}\\\mathbf {a^{5}} &\color {green}a^{5}&\color {green}e&\color {green}a&\color {green}a^{2}&\color {green}a^{3}&\color {green}a^{4}\end{array}}$

$\implies$Diese Gruppe ist, wie man schnell sieht, isomorph zur additiven Restklassengruppe $\left\langle \mathbb {Z_{6}} ,+\right\rangle$. Sie ist abgeschlossen, da

$\forall \,a^{m},a^{n}\in C_{6}$ gilt$\colon \;a^{m}\cdot a^{n}\in C_{6}$. 

Zusätzlich gilt das Kommutativgesetz mit

$\forall \,a^{m},a^{n}\in C_{6}$ gilt$\colon \;a^{m}\cdot a^{n}=a^{n}\cdot a^{m}$

Für Untergruppen gilt nach dem Satz von Lagrange, dass die Ordnung der Untergruppe die Ordnung der Gruppe teilen muss, also $|U|\mid {|G|}$. Als Teiler von $6$ kommen nur die Zahlen $1,2,3$ und $6$ in Frage.

Für die Zahlen $1$ und $6$ sind es die beiden trivialen Untergruppen, also jene alleine mit dem neutralen Element (= Untergruppe $\mathbb {T_{1}}$) und, jene mit der gesamten Gruppe $G$ (= Untergruppe $\mathbb {T_{2}}$). Das sind die einzigen Untergruppen mit den Ordnungen $1$ und $6$.

Die Operationstafel der trivialen Untergruppe mit $\;\mathbb {T_{1}} =\{\;e\;\}$ ist:

${\begin{array}{c|c}\mathbf {\cdot } &\mathbf {e} \\\hline \mathbf {e} &\color {green}e\end{array}}$

$\implies$Diese einelementige Gruppe ist isomorph zu jeder anderen einelementigen, abgeschlossenen algebraischen Struktur (nona).

Die Operationstafel der trivialen Untergruppe mit $\;\mathbb {T_{2}} =C_{6}$, also der ganzen Gruppe $C_{6}$, entspricht natürlich der ersten Operationstafel.

Untergruppen der Ordnung 2 und 3

Wir suchen jetzt noch Untergruppen mit den restlichen Teilern, also $2$ und $3$.

Die Operationstafel der Untergruppe mit dem Teiler $2$ ($\;\mathbb {U_{1}} =\{\;e,\;a^{3}\;\}$):

${\begin{array}{c|cc}\mathbf {\cdot } &\mathbf {e} &\mathbf {a^{3}} \\\hline \mathbf {e} &\color {green}e&\color {green}a^{3}\\\mathbf {a^{3}} &\color {green}a^{3}&\color {green}e\end{array}}$

$\implies$Diese Gruppe ist isomorph zur additiven Restklassengruppe $\left\langle \mathbb {Z_{2}} ,+\right\rangle$. Sie ist abgeschlossen, da

$\forall \,a^{m},a^{n}\in \mathbb {U_{1}}$ gilt$\colon \;a^{m}\cdot a^{n}\in \mathbb {U_{1}}$. 

Für die Operationstafel nehmen wir diesmal die Elemente $\;\mathbb {U_{2}} =\{\;e,a^{2},a^{4}\;\}$ her:

${\begin{array}{c|ccc}\mathbf {\cdot } &\mathbf {e} &\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a^{4}} \\\hline \mathbf {e} &\color {green}e&\color {green}a^{2}&\color {green}a^{4}\\\mathbf {a^{2}} &\color {green}a^{2}&\color {green}a^{4}&\color {green}e\\\mathbf {a^{4}} &\color {green}a^{4}&\color {green}e&\color {green}a^{2}\end{array}}$

$\implies$Diese Gruppe ist isomorph zur additiven Restklassengruppe $\left\langle \mathbb {Z_{3}} ,+\right\rangle$. Sie ist abgeschlossen, da

$\forall \,a^{m},a^{n}\in \mathbb {U_{2}}$ gilt$\colon \;a^{m}\cdot a^{n}\in \mathbb {U_{2}}$. 

Assoziativität

• Jede der oben angeführten Gruppen bzw. Untergruppen der Ordnung $n=|C_{n}|$ sind isomorph zu additiven Restklassengruppen, die bekannterweise alle assoziativ sind. Daher sind diese Untergruppen ebenfalls assoziativ.
  • $\forall \,a^{m},a^{o},a^{p}\in C_{n}$ muss gelten$\colon \;(a^{m}\cdot a^{o})\cdot a^{p}=a^{m}\cdot (a^{o}\cdot a^{p})$.

neutrales Element

• Für ein neutrales Element $e\in C_{n}$ muss gelten:
  • $\exists \,e=a^{0}\in C_{n}$ mit$\colon \;\forall \,a^{m}\in C_{n}$ gilt$\colon \;a^{m}\cdot e=e\cdot a^{m}=a^{m}$.
  • $\implies$ es muss genau eine Zeile und eine Spalte geben, deren Elementzeilen- und Elementspaltenbeschriftung mit dem Element in der Operationstafel selbst übereinstimmt.
  • Das ist hier das vorgegebene Element $\mathbf {e} =\mathbf {a^{0}}$ in allen oberen Gruppen bzw. Untergruppen.

Inverse Element

• Für die Existenz eines Inversen Elementes einer endlichen zyklischen Gruppen muss gelten:
  • $\forall \,a^{m}\in C_{n}$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-m}\in C_{n}$ mit$\colon \;a^{m}\cdot a^{-m}=a^{-m}\cdot a^{m}=e$ (für das neutrale Element $\mathbf {e} =a^{0}$).
  • $\implies$ es muss in jeder Zeile und jeder Spalte das neutrale Element genau einmal vorkommen - sonst wäre die vorherige Gleichung mit $e$ auf der rechten Seite nicht für alle $a^{m}\in C_{n}$ lösbar.

Da in den oberen Gruppen bzw. Untergruppen in jeder Zeile und jeder Spalte jede Potenz von $a^{m}$ ($\;n=|C_{n}|$ mit$\colon \;m\in \{\;0,1,\dots ,(n-1)\;\}$) steht, gibt es zu jedem Element $a^{m}\in C_{n}$ ein Inverses Element und dieses bezeichnen wir mit $a^{-m}$.

Jede zyklische Gruppe ist kommutativ $\implies$ wir haben sogar eine zyklische abelsche Gruppe der Ordnung $n$ mit$\colon \;n=|C_{n}|$, die isomorph zur additiven Restklassengruppe $\mathbb {Z_{n}}$ ist.

Es existieren vier Untergruppen von $C_{6}$:

${\begin{array}{c|c|l}Gruppe&Ordnung&Bezeichnung\\\hline \mathbb {T_{1}} &1&{\text{triviale Untergruppe mit }}\;\mathbb {T_{1}} =\{\;e\;\}\\\mathbb {U_{1}} &2&{\text{Untergruppe mit }}\;\mathbb {U_{1}} =\{\;e,a^{3}\;\}\\\mathbb {U_{2}} &3&{\text{Untergruppe mit }}\;\mathbb {U_{2}} =\{\;e,a^{2},a^{4}\;\}\\\mathbb {T_{2}} &6&{\text{triviale Untergruppe mit }}\;\mathbb {T_{2}} =C_{6}{\text{ , also der zyklischen Gruppe selbst}}\end{array}}$