TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 369

Man bestimme die Untergruppen einer zyklischen Gruppe der Ordnung 6, d.h. von $G=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5}\}$

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Theoretische Grundlagen

Untergruppen

• Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe.
• Eine Untergruppe ist selbst eine Gruppe (d.h. assoziativ, neutrales Element, zu jedem Element gibt es ein inverses).

Diese zwei Kritierien sagen zwar, dass es sich um eine Untergruppe handelt, allerdings dürfen wir nicht vergessen, dass wir auch auf Abgeschlossenheit prüfen (d. h. ob $a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U$ vorliegt), sonst handelt es sich nämlich nicht einmal um eine algebraische Struktur. Das Assoziativgesetz muss nicht überprüft werden, da es in ganz $G$ gilt.

Zyklische Gruppen

In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element $a$ erzeugt wird. Sie besteht nur aus Potenzen des Erzeugers $a$:

$\left\langle a\right\rangle :=\lbrace a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \rbrace .$

Eine Gruppe $G$ ist also zyklisch, wenn sie ein Element $a$ enthält (den „Erzeuger“ der Gruppe), sodass jedes Element von $G$ eine Potenz von $a$ ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element $a$ gibt, sodass $G$ selbst die einzige Untergruppe von $G$ ist, die $a$ enthält.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe

Kleiner Fermat'scher Satz

Für jedes Element $a\in G$ einer endlichen Gruppe $(G,\circ )$ gilt $a^{|G|}=e$.

Auf dieses Beispiel angewendet heißt das: $a^{6}=e$

Lösungsvorschlag von Flumm (mit Erklärungen von Superwayne)

Zuerst müssen wir uns überlegen, wie man Untergruppen findet. Bei Untergruppen gibt es jedenfalls immer zwei so genannte triviale Untergruppen: $\{e\}$ und die Gruppe selbst.

Das heißt wir haben schon zwei Untergruppen gefunden:

• $U_{1}=\{e\}$
• $U_{2}=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5}\}$

Für die restlichen Untergruppen schauen wir uns an, wann überhaupt eine Gruppe gegeben ist. Wie schon oben erwähnt, muss es ein neutrales Element und inverse Elemente geben. Das heißt, wir versuchen so viel wie mögliche Untergruppen zu bilden, die diese drei Eigenschaften erfüllen.

Die Assoziativität einer Untergruppe ist immer gegeben, da es für die ganze Gruppe gilt (also auch für Untergruppen) und muss deshalb nicht extra geprüft werden. Nachdem die Untergruppe ein neutrales Element benötigt, müssen alle unsere zu findenden Untergruppen auch immer das Element $e$ aufweisen. Außerdem muss es ein inverses Element geben. Hier ist wichtig zu wissen, dass man zyklische Gruppen wie Restklassen auffassen kann. Das heißt, dass in diesem Beispiel $a^{6}=e$ gilt.

Mit diesem Wissen versuchen wir weitere Untergruppen zu finden.

Ein erster Versuch wäre die Untergruppe $\{e,a\}$, die ein neutrales Element aufweist. Allerdings ist $e\circ a=a$ und $a\circ a=a^{2}$. Es fehlt also ein inverses Element für $a$, womit es sich um keine Untergruppe handelt. Das gleiche gilt analog für $\{e,a^{2}\}$, auch hier ist kein inverses Element enthalten.

$\{e,a^{3}\}$ ist allerdings schon eine Untergruppe, da $a^{3}\circ a^{3}=a^{6}=e$ ist. $a^{3}$ ist also auch das inverse Element von sich selbst. Womit wir eine dritte Untergruppe gefunden hätten: $U_{3}=\{e,a^{3}\}$.

$\{e,a^{4}\}$ und $\{e,a^{5}\}$ sind wieder keine Untergruppen, da kein inverses Element enthalten ist.

Als nächstes versuchen wir mit drei Elementen Untergruppen zu bilden. Statt alle möglichen Kombinationen auszuprobieren, kann man sich überlegen, dass die Exponenten von zwei Elementen addiert die Ordnung (= Anzahl der Elemente, also $6$) ergeben müssen. Nur dann können wir ein inverses Element bilden. Außerdem dürfen wir nicht auf die Abgeschlossenheit vergessen.

Mit dieser Taktik erkennen wir schnell, dass $U_{4}=\{e,a^{2},a^{4}\}$ eine weitere Untergruppe ist, da $a^{2}\circ a^{4}=a^{6}=e$ und $a^{2}\circ a^{2}=a^{4}$ bzw. $a^{4}\circ a^{4}=a^{8}=a^{6}\circ a^{2}=e\circ a^{2}=a^{2}$ gilt, also auch Abgeschlossenheit vorliegt.

Somit haben wir alle Untergruppen bestimmt.

Manch einer fragt sich jetzt vielleicht, wieso $\{e,a,a^{5}\}$ keine Untergruppe ist, schließlich ist $a^{5}$ das inverse Element von $a$. Der Grund ist, dass keine Abgeschlossenheit vorliegt: $a\circ a=a^{2}$ bzw. $a^{5}\circ a^{5}=a^{10}=a^{6}\circ a^{4}=e\circ a^{4}=a^{4}$ und weder $a^{2}$ noch $a^{4}$ sind Elemente. Hier sieht man, wie wichtig auch die Prüfung auf Abgeschlossenheit ist.