TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 375

Sei U die von (123) erzeugte Untergruppe der $S_{3}$. Man bestimme die Linksnebenklassen von U. Weiters stelle man fest, ob U der Normalteiler von $S_{3}$ ist und bestimme gegebenenfalls die Gruppentafel der Faktorgruppe $S_{3}/U$.

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 UE WS07 Anmerkung zu Bsp. 257: (123) verwendet die Zyklendarstellung einer Permutation, d.h. gemeint 
                                ist die Permutation (1,2,3) -> (2,3,1).

Neuüberarbeitung der Lösung zu diesem Beispiel

Zur erfolgreichen Lösung dieses Beispiels müssen wir verschiedene Grundbegriffe wissen, welche wären

• was ist eine Abbildung (hier im besonderen die bijektive Abbildung)
• was kann man sich unter der Menge aller Abbildungen vorstellen
• was ist eine algebraische Struktur (Gruppoid, Halbgruppe, Monoid, Gruppe, abelsche Gruppe)
• was ist eine Permutation und Permutationen von Abbildungen
• wie ist die symmetrische Gruppe $S_{M}$ definiert
• was ist das erzeugende Element (123) erzeugt U

Ich bitte alle interessierten Leser dieses Themas per Diskussion mitzuteilen, wo hier der größte Erklärungsbedarf herrscht.

Lösung

Symetrische Gruppe $S_{3}$

$S_{3}$ ist die Gruppe bestehend aus der Menge aller möglichen drei-elementigen bijektiven Abbildungen und der Operation $\circ$, welche die Komposition (Hintereinanderausführung) ist. Die einzelnen Elemente der Gruppe werden in Zyklendarstellung angegeben.

$<\{(1)(2)(3),(1)(23),(2)(13),(3)(12),(123),(132)\},\circ >$

.

Weiters ist zu beachten, daß auf $S_{3}$ alle Gruppeneigenschafte zutreffen:

• abgeschlossen
• assoziativ
• es existiert ein neutrales Element $(1)(2)(3)$
• zu jedem Element existiert ein inverses Element

Untergruppe $U=<(123)>$

$U$ ist die durch $(123)$ gebildete Untergruppe von $S_{3}$. D.h. alle sich in der Untergruppe $U$ befindlichen Elemente können durch das Element $(123)$ mit der Operation $\circ$ bei mehrfacher Ausführung dieser erzeugt werden.

Berechnung $(123)^{n}$

Man darf sich hier von der Potenz nicht täuschen lassen, denn sie hat nur indirekt mit der für uns geläufigen Potenzrechnung zu tun. Das n bezieht sich hier auf die Anzahl der Ausführung der Operation. So heißt zb. $(123)^{1}=(123)$ und $(123)^{2}=(123)\circ (123)$ und $(123)^{3}=(123)\circ (123)\circ (123)$.

• 1. Element $(123)^{1}=(123)$
• 2. Element $(123)^{2}=(123)\circ (123)=(132)$
• 3. Element $(123)^{3}=(123)\circ (123)\circ (123)=(132)\circ (123)=(1)(2)(3)$
• 4. Element $(123)^{4}=(123)\circ (123)\circ (123)\circ (123)=(1)(2)(3)\circ (123)=(123)$

Beim errechnen des 4. Elementes sehen wir, daß es mit dem 1. Element ident ist, und haben somit unsere komplette Gruppe erzeugt.

$U=<\{(1)(2)(3),(123),(132)\},\circ >$ Da $U$ ebenfalls eine Gruppe ist, gelten auch hier oben genannten Gruppeneigenschaften.

Linksnebenklassen

Bestimmung der LNK (Linksnebenklassen)

Bei der Bestimmung der LNK berechnen wir uns mit Hilfe des Satzes von Lagrange die Anzahl der Nebenklassen

• Der Satz von Lagrange besagt das: $|S_{3}|=|U|*|S_{3}:U|$ ist. Und da $|S_{3}|=6$ und $|U|=3$ folgt das der Index $|S_{3}:U|=2$ ist. Da wir schon mittels U eine Linksnebenklasse bestimmt haben (U selbst ist eine LNK und RNK), müssen wir nur noch eine weitere Linksnebenklasse bestimmen. Dieses machen wir, in dem wir ein Element aus der Ursprungsgruppe $S_{3}$ wählen und die Operation auf alle Elemente in der Untergruppe $U$ anwenden.

Mathematisch formuliert sieht das dann so aus: $LNK=\{a\circ u|a\in S_{3}\wedge \forall u\in U\}$. Würde man alle Elemente aus $S_{3}$ wählen, um die LNK/RNK zu bestimmen, würde man bemerken, daß viele Untergruppen zusammenfallen (in dem sie die selben Elemente beinhalten). Sinngemäß wählen wir ein Element aus $S_{3}$ aus, daß nicht auch schon ein Element aus U ist, da wir sonst wegen der Abgeschlossenheit nur wieder U erzeugen würden. Wichtig dabei ist, daß die erzeugte Nebenklasse unterschiedliche Elemente beinhaltet (Achtung, die Reihenfolge ist hier nicht relevant, da es sich um eine Menge handelt!) und das die Anzahl (=Mächtigkeit) der neuen Nebenklasse genau so viele Elemente hat, wie alle anderen bereits gefunden Nebenklassen. Wenn dem nicht so ist (alle Elemente gleich), dann muß ich mir ein weiteres Element aus $S_{3}$ suchen, um meine Nebenklassen zu finden, bis ich die, laut Lagrange, nötigen unterschiedlichen Klassen habe.

Berechnung LNK $a\circ u$

Gewähltes $a=(1)(23)$

• 1. Element aus U $(1)(2)(3)$

$a=(1)(23)=1\mapsto 1,2\mapsto 3,3\mapsto 2$
$u=(1)(2)(3)=1\mapsto 1,2\mapsto 2,3\mapsto 3$
$a\circ u=(1)(23)\circ (1)(2)(3)=1\mapsto 1\mapsto 1,2\mapsto 3\mapsto 3,3\mapsto 2\mapsto 2=(1)(23)$

• 2. Element aus U $(123)$

$a=(1)(23)=1\mapsto 1,2\mapsto 3,3\mapsto 2$
$u=(123)=1\mapsto 2,2\mapsto 3,3\mapsto 1$
$a\circ u=(1)(23)\circ (123)=1\mapsto 1\mapsto 2,2\mapsto 3\mapsto 1,3\mapsto 2\mapsto 3=(12)(3)$

• 3. Element aus U $(132)$

$a=(1)(23)=1\mapsto 1,2\mapsto 3,3\mapsto 2$
$u=(132)=1\mapsto 3,3\mapsto 2,2\mapsto 1$
$a\circ u=(1)(23)\circ (132)=1\mapsto 1\mapsto 3,2\mapsto 3\mapsto 2,3\mapsto 2\mapsto 1=(13)(2)$

Somit haben wir unsere 2. LNK für $U$ und $S_{3}$bestimmt mit den Elementen $\{(1)(23),(12)(3),(13)(2)\}$

Normalteiler

Eine Untergruppe ist dann Normalteiler, wenn alle Linksnebenklassen gleich den Rechtsnebenklasen gilt. Mathematisch formuliert $a\circ u=u\circ a|a\in S_{3}\wedge \forall u\in U$. Dafür berechnet man einfach die Rechtsnebenklassen (und die Anzahl der RNK = Anzahl der LNK, wobei U selbst sowohl LNK alsauch RNK ist!) nach dem selben schema wie oben die Linksnebenklasse mit dem einzigen Unterschied, daß man zuerst die Abbildung in u durchführt und dann die von a.

Berechnung RNK $u\circ a$

Gewähltes $a=(1)(23)$

• 1. Element aus U $(1)(2)(3)$

$a=(1)(23)=1\mapsto 1,2\mapsto 3,3\mapsto 2$
$u=(1)(2)(3)=1\mapsto 1,2\mapsto 2,3\mapsto 3$
$u\circ a=(1)(2)(3)\circ (1)(23)=1\mapsto 1\mapsto 1,2\mapsto 2\mapsto 3,3\mapsto 3\mapsto 2=(1)(23)$

• 2. Element aus U $(123)$

$a=(1)(23)=1\mapsto 1,2\mapsto 3,3\mapsto 2$
$u=(123)=1\mapsto 2,2\mapsto 3,3\mapsto 1$
$u\circ a=(123)\circ (1)(23)=1\mapsto 2\mapsto 3,2\mapsto 3\mapsto 2,3\mapsto 1\mapsto 1=(13)(2)$

• 3. Element aus U $(132)$

$a=(1)(23)=1\mapsto 1,2\mapsto 3,3\mapsto 2$
$u=(132)=1\mapsto 3,3\mapsto 2,2\mapsto 1$
$a\circ u=(132)\circ (1)(23)=1\mapsto 3\mapsto 2,2\mapsto 1\mapsto 1,3\mapsto 2\mapsto 3=(12)(3)$

Somit haben wir unsere 2. RNK für $U$ und $S_{3}$bestimmt mit den Elementen $\{(1)(23),(12)(3),(13)(2)\}$ und sehen dabei gleich das sie ident mit der LNK ist. Somit ist $U$ ein Normalteiler von $S_{3}$ und man kann die Faktorengruppe bestimmen.

Faktorengruppe

Wenn die Untergruppe $U$ ein Normalteiler von $S_{3}$ dann bildet die Menge aller Nebenklassen (in diesem Beispiel gibt es ja nur zwei Nebenklassen, einmal U und dann die zweite errechnete Nebenklasse) eine eigene Gruppe. Somit ist die Faktorengruppe $G_{F}=\{\{(1)(2)(3),(123),(132)\},\{(1)(23),(12)(3),(13)(2)\}\}=\{U,(1)(23)\circ U\}=\{(1)(2)(3)\circ U,(1)(23)\circ U\}$. Hat man eine Faktorengruppe kann man alleinig mit ihren Vertretern innerhalb dieser Gruppe rechnen. Die Vertrter sind in diesem Beispiel $\{(1)(2)(3),(1)(23)\}$. Da es sich hier wieder um eine Gruppe im algebraischen Sinne handelt, müssen auch wieder alle eigenschaften einer Gruppe zutreffen!

Lösungsvorschlag von mnemetz

Basierend auf f.thread:38060 !

$S_{3}$ besteht aus allen möglichen drei-elementigen Abbildungen, d.h.:

{ (1)(2)(3), (1)(23), (2)(13), (3)(12), (123), (132) }

.

Wenn U eine Untergruppe ist, dann ist $S_{3}$ auch eine Gruppe. Die binäre Operation ist die Hintereinanderausführung ist.

Das neutrale Element (1)(2)(3) in $\langle S_{3},\circ \rangle$ und somit auch in U.

Wenn U eine Untergruppe ist, muß es das Gruppenkriterium erfüllen. d.h. es muß ein neutrales und inverse Elemente geben.

U = { n=(1)(2)(3), a=(123), a'=(132) }

• n = neutrales Element
• a = das Element das U "bildet"
• a' = die Inverse zu a

Für die Linksnebenklassen ($\{a*U|a\in S_{3}\}$ ergibt sich:

• { (1)(23), (2)(13), (3)(12) }

Diese werdem errechnet durch Einsetzen für $a\circ u$ und $a\in S_{3}$ und $u\in U$.

Beispiel:

• a=(1)(23) = ( 1->1, 2->3, 3->2 )
• u=(1)(2)(3) = (1->1, 2->2, 3->3 )

Dann ist $a\circ u$:

• $a\circ u=(1)(23)\circ (1)(2)(3)=(1->1->1,(2->3->3),(3->2->2)=(1->1,2->3,3->2)=(1)(23)$
• Es ändert sich ja nicht da u ja das neutrales Element ist!

a=(1)(23),* u=(123) = (1->2, 2->3, 3->1)

Dann ist $a\circ u$:

• $a\circ u=(1)(23)\circ (123)=(1->1->2,2->3->1,3->2->3)=(1->2,2->1,3->3)=(3)(12)$

a=(1)(23),* u=(132) = (1->3, 3->2, 2->1)

Dann ist $a\circ u$:

• $a\circ u=(1)(23)\circ (132)=(1->1->3,2->3->2,3->2->1)=(1->3,2->2,3->1)=(2)(13)$

Da laut dem Satz von Lagrange Lagrange $|S_{3}|=|U|*|S_{3}:U|$ ist und $|S_{3}|=6$ und $|U|=3$, muß $|S3:U|=2$ sein.

$|S3:U|=2$ ist der Index (Anzahl der Nebenklassen). Daher: Es gibt zwei Nebenklassen, U und die obige LNK, daher braucht man für die anderen möglichen a nicht probieren, da man schon alle Untergruppen hat.

Für den Normalteiler muss gelten: LNK = RNK

Hier macht man für die RNK das selbe wie für die LNK, nur muß man darauf achten, das man zuerst u ausführt und dann erst a.

Dabei stellt man fest, daß hier gilt: LNK = RNK, also ist U ein Normalteiler von $S_{3}$.

(Es fehlen noch die Faktorengruppen!)