TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 390

Bestimmen Sie alle Untergruppen der Gruppe der Restklassen modulo 4 mit der Addition.

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Lösungsvorschlag von Soymilk-drinker

Gegeben und gesucht?

Gegeben ist:

$G=\langle M,+\rangle$

$M=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}$ = Menge der Restklassen modulo 4

Gesucht werden alle möglichen Untergruppen U von G:

$U=\langle M_{U},+\rangle$

Teilmengen von M

Welche Untergruppen können wir eigentlich haben?

Betrachten wir das ganze mal rein ohne alle Eigenschaften einer Gruppe abzufragen.

Als $M_{U}$ nehmen wir alle möglichen Teilmengen von M. Bei den möglichen Teilmengen können wir die leere Menge weglassen (hat keine Elemente, und ohne Elemente kann man ja mit der Addition nicht rechnen).

$M_{U}={\begin{cases}\{{\overline {0}}\},\{{\overline {1}}\},\{{\overline {2}}\},\{{\overline {3}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}}\},\{{\overline {0}},{\overline {2}}\},\{{\overline {0}},{\overline {3}}\},\{{\overline {1}},{\overline {2}}\},\{{\overline {1}},{\overline {3}}\},\{{\overline {2}},{\overline {3}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\},\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {3}}\},\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {3}}\},\{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\end{cases}}$

Reduzierung der Teilmengen

Jetzt wissen wir welche Teilmengen es gibt. Nun müssen wir nur noch überprüfen, auf welche der Teilmengen mit der Addition die Eigenschaften von Gruppen zutreffen. Diejenigen welche keine Gruppe sind können keine Untergruppe von G sein und können wegfallen.

Neutrales Element

Das neutrale Element einer Untergruppe und das neutrale Element der Gruppe sind die selben. Suchen wir also nach dem neutralen Element von G, dann können wir die Teilmengen entfernen die es nicht enthalten.

Das neutrale Element von G ist nicht schwer zu finden, es ist nämlich die ${\overline {0}}$.

${\overline {0}}$ ist daher auch das neutrale Element von U und wir können die Teilmengen entfernen die es nicht enthalten.

$M_{U}={\begin{cases}\{{\overline {0}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}}\},\{{\overline {0}},{\overline {2}}\},\{{\overline {0}},{\overline {3}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\},\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {3}}\},\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\end{cases}}$

Inverses Element

Sehen wir uns die inversen Elemente der Restklassen an:

$({\overline {0}})'={\overline {0}}$

$({\overline {1}})'={\overline {3}}$

$({\overline {2}})'={\overline {2}}$

$({\overline {3}})'={\overline {1}}$

Die Restklassen 0 und 2 sind jeweils ihre eigenen inversen Elemente. Doch die Restklasse 1 ist das inverse Elemente der Restklasse 3 und umgekehrt.

Wir können also die Teilmengen entfernen die nur die Restklasse 1 oder nur die Restklasse 3 enthalten, denn diesen Teilmengen würden inverse Elemente fehlen.

$M_{U}={\begin{cases}\{{\overline {0}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {3}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\end{cases}}$

Abgeschlossenheit

Wir müssen nun noch überprüfen ob alle Teilmengen auch abgeschlossen sind. Alle die es nicht sind können wegfallen.

Für die Teilmenge $\{{\overline {0}}\}$ haben wir:

${\overline {0}}+{\overline {0}}={\overline {0}}$

Für die Teilmenge $\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}$ haben wir:

${\overline {0}}+{\overline {0}}={\overline {0}}$

${\overline {0}}+{\overline {2}}={\overline {2}}$

${\overline {2}}+{\overline {0}}={\overline {2}}$

${\overline {2}}+{\overline {2}}={\overline {0}}$

Für die Teilmenge $\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {3}}\}$ haben wir:

${\overline {0}}+{\overline {0}}={\overline {0}}$

${\overline {0}}+{\overline {1}}={\overline {1}}$

${\overline {0}}+{\overline {3}}={\overline {3}}$

${\overline {1}}+{\overline {1}}={\overline {2}}$

${\overline {1}}+{\overline {3}}={\overline {0}}$

${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}$

Die letzte Teilmenge ist ja wieder die Menge G selbst und die ist ja bekanntermaßen abgeschlossen, muss also nicht mehr überprüft werden.

Man sieht dass die ersten beiden und die letzte Teilmengen abgeschlossen sind. Die dritte Teilmenge ist nicht abgeschlossen (in 2 Fällen erhält man ${\overline {2}}$ als Ergebnis, das ist aber in der Teilmenge nicht enthalten)

Damit verringern wir die Teilmengen auf:

$M_{U}={\begin{cases}\{{\overline {0}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\end{cases}}$

//Anmerkung von --loop

Fehler?! Sollte ${\overline {0}}+{\overline {3}}$ nicht $={\overline {3}}$ sein? Weil ${\overline {0}}$ eh neutrales Element ist?

Ist wohl nur ein Verschreiber. Ich habs ausgebessert. lg Apfelsaft

Assoziativität

Nun noch die letzte Überprüfung, sind alle Gruppen assoziativ?

Nehmen wir dazu einfach eine Rechenregel für Restklassen zu Hilfe: ${\overline {a}}+{\overline {b}}={\overline {a+b}}$

Assoziativität wird so beschrieben:

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

In diesem Beispiel wäre es konkret:

$({\overline {a}}+{\overline {b}})+{\overline {c}}={\overline {a}}+({\overline {b}}+{\overline {c}})$

Durch die Rechenregel kommen wir auf:

${\overline {(a+b)+c}}={\overline {a+(b+c)}}$

Und hier lassen sich dann die Klammern auflösen (Addition ist ja assoziativ)

${\overline {a+b+c}}={\overline {a+b+c}}$

Man sieht, dass beide Ausdrücke gleich sind. Daher kann man für die Addition von Restklassen sagen: die Addition von Restklasse ist assoziativ (allgemein, nicht nur in diesem Beispiel).

In unserem Beispiel fallen daher keine weiteren Teilmengen weg.

Lösung

Wir haben nun sämtliche Teilmengen eliminiert die die Gruppen Eigenschaften nicht erfüllen. Damit bleiben nur noch diese die es tun, und da diese Teilmengen von G sind ist klar dass sich daraus die Untergruppen bilden lassen.

Unsere verbliebenen Teilmengen waren:

$M_{U}={\begin{cases}\{{\overline {0}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}\\\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\end{cases}}$

Als Untergruppen haben wir daher:

$U={\begin{cases}\langle \{{\overline {0}}\},+\rangle \\\langle \{{\overline {0}},{\overline {2}}\},+\rangle \\\langle \{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\},+\rangle \end{cases}}$

Webressourcen

• f.thread:12006&highlight=Untergruppen+Restklassen+modulo
• f.thread:12042&highlight=Untergruppen+Restklassen+modulo
• Lösung Teil I --Michi 20:30, 9. Jan 2006 (CET)
• Lösung Teil II --Michi 20:30, 9. Jan 2006 (CET)
• Restklassen --Michi 20:30, 9. Jan 2006 (CET)