TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 391

Bestimmen sie alle Untergruppen von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$

$\mathbb {Z} _{12}=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}},{\overline {6}},{\overline {7}},{\overline {8}},{\overline {9}},{\overline {10}},{\overline {11}}\}$

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Lösungsvorschlag

Bedingungen für Untergruppe:

wenn $\langle U,+\rangle$ eine Untergruppe ist, dann muss:

- $U\subseteq \mathbb {Z} _{12}$(U eine Teilmenge von $\mathbb {Z} _{12}$ sein)

- und $\langle U,+\rangle$ eine Gruppe sein

U muss:

a) ein neutrales Element(e) enthalten: $e={\overline {0}}$(Bedingung damit U eine Gruppe ist)

b) ein inverses Element(a') enthalten (Bedingung damit U eine Gruppe ist)

c) Die Mächtigkeit von U muss Teiler der Mächtigkeit von $\mathbb {Z} _{12}$ sein (Satz von Lagrange) also die Mächtigkeit von U ist entweder 1,2,3,4,6 oder 12 Elemente

d) U muss abgeschlossen sein (Bedingung damit U eine Gruppe ist)

e) muss assoziativ sein (gilt für Rechnen in Restklassen) -> e ist erfüllt

Mögliche U finden

Mögliche U unter der Betrachtung der Bedingungen a), b) und c):

dazu erstmal a'(inverses Element zu jedem Element berechnen):

$a+a'=e$

${\overline {11}}+{\overline {1}}={\overline {0}}$

${\overline {10}}+{\overline {2}}={\overline {0}}$

${\overline {9}}+{\overline {3}}={\overline {0}}$

${\overline {8}}+{\overline {4}}={\overline {0}}$

${\overline {7}}+{\overline {5}}={\overline {0}}$

${\overline {6}}+{\overline {6}}={\overline {0}}$

${\overline {5}}+{\overline {7}}={\overline {0}}$

${\overline {4}}+{\overline {8}}={\overline {0}}$

${\overline {3}}+{\overline {9}}={\overline {0}}$

${\overline {2}}+{\overline {10}}={\overline {0}}$

${\overline {1}}+{\overline {11}}={\overline {0}}$

${\overline {0}}+{\overline {0}}={\overline {0}}$

Man sieht, dass ausser bei ${\overline {6}}$ und bei ${\overline {0}}$ immer zwei Elemente gebraucht werden damit ein Element und das zugehörige inverse Element in der Menge vorkommen können (Element und zugehöriges inverses Element müssen in die Menge, damit eine Gruppe vorliegen kann)

mögliche U:

1 Element: $\{{\overline {0}}\}$

2 Elemente: $\{{\overline {0}},{\overline {6}}\}$

3 Elemente:

$\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {11}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {10}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

4 Elemente:

-> neutrales Element muss vorhanden sein: ${\overline {0}}$ muss in die Menge

-> 3 Stellen noch "frei" -> eine Stelle mit ${\overline {6}}$ füllen, damit nur mehr zwei Stellen "frei" sind und diese mit a und a' besetzen

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

6 Elemente:

-> ${\overline {0}}$ muss in die Menge

-> ${\overline {6}}$ muss in die Menge

-> die restlichen 4 Stellen mit zweimal a und zugehöriges a' füllen

mögliche a und a':

${\overline {1}},{\overline {11}}$

${\overline {2}},{\overline {10}}$

${\overline {3}},{\overline {9}}$

${\overline {4}},{\overline {8}}$

${\overline {5}},{\overline {7}}$

->

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {2}},{\overline {10}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {4}},{\overline {8}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

12 Elemente: $\mathbb {Z} _{12}$

mögliche U auf Abgeschlossenheit überprüfen

alle $\langle U,+\rangle$ müssen jetzt noch auf Abgeschlossenheit überprüfen: Wenn Restklassen in U zusammengezählt eine Restklasse ergeben, die sich nicht in U befindet so bildet $\langle U,+\rangle$ keine Gruppe:

-> U:

$\{{\overline {0}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{\mathbb {Z} _{12}\}$

Ergebnis

Untergruppen von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$:

$\langle \{{\overline {0}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {6}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {4}},{\overline {8}}\},+\rangle$

$\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$

--Sanssecours 13:01, 28. Dez 2005 (CET)

Schnellerer Lösungsweg von Johnnystoamau

Zuerst kann man mal die Untergruppen mit einem und 12 Elementen anhand der beiden Trivialfälle abarbeiten: Die Menge der Gruppe selbst $\{\mathbb {Z} _{12}\}$ und die Menge, die nur das neutrale Element enthält, also $\{{\overline {0}}\}$

Das neutrale Element (bei uns ${\overline {0}}$ ) muss wegen a) in jeder Untergruppe vorkommen.

Man kann sich einen Haufen Schreibarbeit sparen, indem man den Fokus auf die Abgeschlossenheit der Untergruppen richtet. Dabei bin ich auf ein schönes Muster gestoßen: $12$ hat ja die Teiler: $1,2,3,4,6,12$

Wenn ich einen dieser Teiler nehme und alle $n$-Fachen von ihm auch in meiner Menge habe, erhalte ich aus dieser Menge stets eine Gruppe, da diese abgeschlossen ist und auch automatisch alle inversen Elemente beinhaltet.

Man geht also jeden Teiler von $12$ so durch:

Ich habe eine Menge mit zwei Elementen: $2*6=12$ daher muss ich alle Vielfachen von $6$ in meiner Menge haben.

$\Rightarrow \{{\overline {0}},{\overline {6}}\}$

Ich habe eine Menge mit drei Elementen: $3*4=12$ daher muss ich alle Vielfachen von $4$ in meiner Menge haben.

$\Rightarrow \{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

Ich habe eine Menge mit vier Elementen: $4*3=12$ daher muss ich alle Vielfachen von $3$ in meiner Menge haben.

$\Rightarrow \{{\overline {0}},{\overline {3}},{\overline {6}},{\overline {9}}\}$

Ich habe eine Menge mit sechs Elementen: $6*2=12$ daher muss ich alle Vielfachen von $2$ in meiner Menge haben.

$\Rightarrow \{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {4}},{\overline {6}},{\overline {8}},{\overline {10}}\}$

Für die beiden trivialen Untergruppen (mit der Menge, die nur das neutrale Element $\{{\overline {0}}\}$ beinhaltet und die mit der Menge der ursprünglichen Gruppe $\mathbb {Z} _{12}$ ) gilt das gleich:

Ich habe eine Menge mit einem Element: $1*12=12$ daher muss ich alle Vielfachen von $12$ in meiner Menge haben.

$\Rightarrow \{{\overline {0}}\}$

Ich habe eine Menge mit zwölf Elementen: $12*1=12$ daher muss ich alle Vielfachen von $1$ in meiner Menge haben.

$\Rightarrow \{\mathbb {Z} _{12}\}$

Wahrscheinlich funktioniert diese Methode für alle Untergruppen von Restklassen. (Für $\mathbb {Z} _{18}$ haut es auch hin). Keine Ahnung obs davon schon einen Beweis gibt.

Hinweis von Aaaaaadm

Meiner Meinung nach stimmt die Lösung von Johnnystoamau. Die "Methode" die du verwendet hast verwendet den Satz von Lagrange. Dieser besagt unter anderem, dass die Ordnung einer Untergruppe stets Teiler der Gruppenordnung ist --Aaaaaadm 14:26, 9. Jan. 2024 (CET)