TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 418

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

$M=$ {0,1,2} mit der Addition modulo 3 und der Multiplikation modulo 4.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

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Damit es sich um einen Ring handelt, muss folgendes gelten: <M,+> = kommutative Gruppe <M,*> = Halbgruppe Distributivgesetze: a*(b+c)=ab+ac und (a+b)*c=ac+bc für a,b,c aus M

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Man kann <M,+> mittels Tabelle überprüfen. Man erhält

+  0  1  2
0  0  1  2
1  1  2  0
2  2  0  1

<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>

Das Assoziativgesetz gilt, da es in Z, Zm und Restklassen gilt. Das neutrale Element ist 0 und jedes Element hat ein inverses Element. Das Kommutativgesetzt wird ebenfalls vererbt.

Somit erfüllt <M,+> die Voraussetzungen

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Selbige Überprüfung macht man nun für <M,*> und erhält

*  0  1  2
0  0  0  0
1  0  1  2
2  0  2  0

<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>

Das Assoziativgesetz wird vererbt Der Rest gilt nicht (produkt-null-satz)

Es handelt sich also um eine Halbgruppe, das reicht aus

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Nun muss man beweisen, dass die Distributivgesetze gelten. Man nimmt beispielsweise an: a=2, b=1, c=2 und probiert:

2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 0 = 2

Wie man sieht gilt das Distributivgesetz nicht (immer), daher ist das Ganze (hoffentlich) kein Ring, daher auch kein Integritätsring bzw Körper.

desp

Meinung von tomCom:

Bezüglich * ist es ein Monoid, da es ja ein neutrales Element gibt: 1. Außerdem gilt das Distributivgesetz da: 2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 1 = 3 = 0

Meinung von mhaslhofer:

tomCom: "Außerdem gilt das Distributivgesetz da: 2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 1 = 3 = 0"

Achtung: 2*2 = 0 nicht 1! (die Angabe verlangt nach Multiplikations modulo 4 - die Operationstabelle <M,*> scheint mir korrekt)

Anmerkung von mir:

wie beweist man das Distributivgesetz? Weiß das jemand?