TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 34

Man bestimme rechnerisch und graphisch Summe und Produkt der komplexen Zahlen z1 und z2:

z1 = 4 + 5i, z2 = [$2,-{\frac {\pi }{4}}$]

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Lösungsvorschlag

Damit man rechnen kann, muss man die Polarkoordianten von z2 umformen. $\pi /4$ entspricht dem Winkel von 45 Grad, 2 ist der Radius, daher die Katheten ${\sqrt {2}}$ . Somit ist ergibt sich: $z_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}i$

Der Realteil und der Imaginärteil von z2 lassen sich auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen:

Re(z) = r * cos φ = 2 * cos (- π/4) = ${\sqrt {2}}$

Im(z) = r * sin φ = 2* sin (- π/4) = $-{\sqrt {2}}$

Daraus folgt: $z_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}i$

 Z1 = 	     $4+5i$ 		
 z2 = 	 ${\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}i$	
 z1 + z2 = $(4+{\sqrt {2}})+(5-{\sqrt {2}})i$ 	
 z1 * z2 = $(4+5i)*({\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}i)=4{\sqrt {2}}-4{\sqrt {2}}i+5{\sqrt {2}}i-5{\sqrt {2}}i^{2}=9{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}i$

Graphische Darstellung der Additon in der Gausschen Zahlenebene durch Parallelogramm!

Hapi

Graphische Darstellung der Multiplikation mittels Drehstreckung.